百科：神秘而奇妙的幻方（上）

　　在國(guó)內(nèi)電視娛樂(lè)節(jié)目《最強(qiáng)大腦》某一期里，就挑戰(zhàn)成功與否，選手與專(zhuān)家展開(kāi)了激烈爭(zhēng)執(zhí)，甚至引發(fā)了場(chǎng)下的微博大戰(zhàn)。他們所爭(zhēng)執(zhí)的內(nèi)容即是神秘而奇妙的幻方。
　　什么是幻方？幻方有哪些獨(dú)特的魅力？就讓我們通過(guò)下面的文章了解一下。
　　幻方是一種起源于我國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)字益智游戲。即把從1到n2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和兩條對(duì)角線上的n個(gè)數(shù)的和都相等，這樣排成的數(shù)表稱(chēng)為n階幻方，這個(gè)相等的和叫幻和。我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝稱(chēng)之為“縱橫圖”，在其于1275年所著的《繼古摘奇算法》中，不僅給出了構(gòu)造3階幻方的最簡(jiǎn)口訣，而且還記載了4～10階幻方的構(gòu)造方法。

　　其后，這種古老且神秘的“縱橫圖”于15世紀(jì)初經(jīng)東南亞國(guó)家、印度、阿拉伯流傳到西方，在歐洲各國(guó)風(fēng)行一時(shí)。就連歐拉和富蘭克林等許多著名數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，也對(duì)幻方產(chǎn)生濃厚的興趣，并進(jìn)行了有趣的探索。
　　由于“縱橫圖”具有變幻莫測(cè)、高深奇妙的特性，以至于西方把它稱(chēng)之為Magic Square，翻譯成中文就是“幻方”。
　　千百年來(lái)，隨著人們對(duì)于幻方研究的深入，幻方已經(jīng)成為數(shù)學(xué)園地中的一朵奇葩。眾多愛(ài)好者癡迷其中，追求更高階、更特別的幻方，研究成果層出不窮。而且幻方的形式已經(jīng)突破了原先n×n的方格模式，幻方中的元素也不再限定為從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)，抑或并非每行、每列及對(duì)角線上數(shù)字之和相等，而是之差、之積、之商相等，各種稀奇古怪、趣味盎然的非正規(guī)幻方不斷走入人們視線，其獨(dú)特的構(gòu)成和性質(zhì)也引起人們強(qiáng)烈的好奇和關(guān)注。
　　幻方的起源
　　關(guān)于幻方的起源，中國(guó)有“河圖”和“洛書(shū)”之說(shuō)。相傳在遠(yuǎn)古時(shí)期，黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖。這就是“河圖” （如圖1）， 據(jù)說(shuō)，伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出八卦。許多研究者認(rèn)為，這是最早的幻方衍生雛形。后來(lái)，大禹治水時(shí)，洛水中浮出一只神龜，它背上的圖文被稱(chēng)之為“洛書(shū)”（如圖2）。

　　公元6世紀(jì)前后，我國(guó)南北朝時(shí)期的北周數(shù)學(xué)家甄鸞，曾對(duì)“洛書(shū)”進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析，使人們認(rèn)識(shí)到蘊(yùn)含其中的特性：在這個(gè)實(shí)際從1到9排成3行3列的“九宮”數(shù)表中，每行、每列以及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)字之和都相等（等于15），也就是如今的3階幻方（如圖3）。由此，“洛書(shū)”成為世人公認(rèn)的最原始、最低階的幻方，亦被稱(chēng)為“九宮圖”。
　　幻方的構(gòu)作
　　對(duì)于3階幻方的構(gòu)作，南宋數(shù)學(xué)家楊輝給出了4句要訣：“九子排列，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出。”按序操作，任何人都可以輕而易舉地完成。圖解如下：
　　
　　即先將1～9這些數(shù)字按序連續(xù)排成菱形位置;然后，將上下兩頭的數(shù)字1和9對(duì)調(diào)，再將左右兩端的數(shù)字7和3對(duì)調(diào);接著，將緊縮在里面的4個(gè)偶數(shù)2、4、6、8沿正方形對(duì)角形方向挺出到四角，則3階幻方大功告成。
　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)推導(dǎo)構(gòu)作3階幻方的步驟是：
　　先求幻和：幻和=n×（n2+1）÷2，則3階幻方的幻和=3×（32+1）÷2=15;
　　確定中心數(shù)：根據(jù)每行、每列和兩條對(duì)角線上的幻和相等，以及中心數(shù)是第二行、第二列和兩條對(duì)角線幻和的公共數(shù)，可求出中心數(shù)為5，這是關(guān)鍵步驟;
　　定四角數(shù)：通過(guò)假設(shè)法和奇偶性判定四角上的數(shù)必為偶數(shù)，即2、4、6、8;
　　定其他數(shù)：接著稍加試驗(yàn)就很快得出完整的3階幻方。
　　對(duì)于更高階的奇數(shù)階幻方和偶數(shù)階幻方的構(gòu)作，研究者給出許多奇妙的方法，在此就4階幻方和5階幻方分別介紹一種簡(jiǎn)易構(gòu)作方法。
　　4階幻方的構(gòu)作方法——對(duì)稱(chēng)交換法：先將1～16依次按序填入4×4方格中，兩條主對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)不變，其余各數(shù)按中心對(duì)稱(chēng)交換（即把2和15，3和14，5和12，9和8交換），這樣，就得到了一個(gè)4階幻方。

　　5階幻方的構(gòu)作方法——平移補(bǔ)空法：先畫(huà)一個(gè)如圖5的階梯式圖表，把1～25按傾斜行從右上到左下依次填入圖中;再以中間5×5方格為基礎(chǔ)，畫(huà)出一個(gè)5階方陣來(lái)，按照對(duì)稱(chēng)原理，把方陣外的數(shù)按上移下、下移上、左移右、右移左的方法，平移到對(duì)應(yīng)部分的空格中，即得一個(gè)5階幻方（如圖6）。

　　可以想象，不管是奇數(shù)階幻方，還是偶數(shù)階幻方，不管是正規(guī)幻方，還是非正規(guī)幻方，要想順利構(gòu)造出來(lái)，都不是件輕而易舉的事。若沒(méi)有癡迷陶醉的興趣、鍥而不舍的信念和執(zhí)著不懈的努力，幾乎可以肯定是徒勞無(wú)功的結(jié)局。
　　下面要向大家介紹的各種奇異珍品幻方，其精彩絕倫的背后更是蘊(yùn)含著創(chuàng)作者的嘔心瀝血和百般巧思，令人在嘆為觀止之余，不禁肅然起敬。
　　鐵板幻方
　　國(guó)外研究幻方的構(gòu)造大約從14世紀(jì)才開(kāi)始，比我國(guó)要晚1000多年。目前所知外國(guó)人所造的最早幻方是于 1957 年在西安東郊元代安西王府遺址出土的元朝文物——鐵板幻方（如題圖）。它們現(xiàn)存于陜西省歷史博物館。據(jù)推測(cè)，這兩塊鐵板是13世紀(jì)時(shí)由阿拉伯天文學(xué)家札馬魯丁在中國(guó)監(jiān)制而成。就出土地點(diǎn)和時(shí)代背景而言，這個(gè)鐵板幻方顯然受到中國(guó)幻方研究的影響。
　　經(jīng)考證鑒定，這塊長(zhǎng)14厘米，厚1.5厘米的鐵板上，鑄有阿拉伯?dāng)?shù)字1～36，恰好構(gòu)成一個(gè)6階幻方。稍加驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)6階幻方的幻和為111。除此之外，人們還發(fā)現(xiàn)了鐵板幻方具備一般6階幻方不具有的奇妙特性：
　　第一，鐵板幻方中第1行和第6行、第1列和第6列中六個(gè)數(shù)的平方和相等。
　　第二，去掉鐵板幻方最外一層數(shù)字，中間剩下的部分仍然是一個(gè)4階幻方（圖7）。這個(gè)4階幻方由 11～26 這16個(gè)數(shù)組成，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的 4 個(gè)數(shù)字之和都是 74 。

　　第三，上面提到的4階幻方還是一個(gè)完美幻方。即各條泛對(duì)角線（與兩條主對(duì)角線平行同樣經(jīng)過(guò)4個(gè)數(shù)的線）上的4個(gè)數(shù)字之和也都是 74。比如：15+19+22+18=23+21+16+14=11+23+26+14=74。
　　鐵板幻方是我國(guó)數(shù)學(xué)史上應(yīng)用阿拉伯?dāng)?shù)字的最早實(shí)物資料，它表明，當(dāng)時(shí)人們對(duì)6階幻方的數(shù)字秘密已經(jīng)有了一些基本了解。
　　畫(huà)家幻方
　　如果說(shuō)，藝術(shù)家有不按常理出牌的特點(diǎn)，那么，中世紀(jì)德國(guó)著名畫(huà)家阿爾勃列希特·丟勒在其功成名就之時(shí)，突然宣布開(kāi)始轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，這種跨度似乎就難用心血來(lái)潮或別出心裁來(lái)解釋了。即便如此，這位酷愛(ài)幻方的畫(huà)家為其1514 年創(chuàng)作的名畫(huà)《憂郁》添加的一個(gè)特別的背景——4階幻方（如圖8），足以顯示自己業(yè)余愛(ài)好的非凡水準(zhǔn)。

　　用數(shù)學(xué)眼光來(lái)判斷，丟勒苦心經(jīng)營(yíng)的4階幻方看似非常普通。唯一比較鮮明的是，幻方最后一行中間兩個(gè)數(shù)是15和14，恰好隱含了這幅作品的創(chuàng)作年代，似乎也僅此而已。由于已經(jīng)構(gòu)成的4階幻方多達(dá)880種，為數(shù)眾多，各有千秋、精彩紛呈，所以人們當(dāng)初并沒(méi)有對(duì)畫(huà)中的幻方高看一眼。但到了21世紀(jì)，當(dāng)幻方專(zhuān)家重新瀏覽這則幻方時(shí)，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來(lái)“有眼不識(shí)泰山”，其中蘊(yùn)含卻被忽視的種種特性足以讓人刮目相看。
　　在這個(gè)幻方中，角上4個(gè)數(shù)字之和16+13+4+1=34，等于4階幻方的和常數(shù)，這可不是幻方的常規(guī)要求，看似無(wú)心卻是有意。
　　在這個(gè)幻方中，角上的4個(gè)2×2小正方形和中央的一個(gè)2×2小正方形的4個(gè)數(shù)字之和仍等于幻方常數(shù)。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的機(jī)巧令人眼前一亮。
　　在這個(gè)幻方中，對(duì)角線上8個(gè)數(shù)字之和等于不在對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，這顯然出乎人們的意料和想象。
　　這還沒(méi)完，人們繼續(xù)嘗試后又有新發(fā)現(xiàn)：對(duì)角線上8個(gè)數(shù)字的平方和等于不在對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，這就更為奇巧難得了。
　　隨后，研究者繼續(xù)下面的嘗試并發(fā)現(xiàn)：對(duì)角線上8個(gè)數(shù)字的立方和等于不在對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字的立方和，大家不妨驗(yàn)證一下，它們的和常數(shù)都為9248。如此“不變其宗”的機(jī)變實(shí)在讓人拍案叫絕。
　　一個(gè)畫(huà)家的數(shù)學(xué)造詣和精巧構(gòu)思竟然如此高深，配合珠聯(lián)璧合的挖掘真是叫人嘆服。
　　“富蘭克林幻方”
　　富蘭克林是18世紀(jì)美國(guó)最偉大的科學(xué)家，著名的政治家和文學(xué)家，其捕捉雷電的故事廣為人知。令人驚訝的是，他還是位頗有才華的數(shù)學(xué)愛(ài)好者，曾對(duì)幻方進(jìn)行過(guò)深入研究，并制作過(guò)一則由1～64組成的8階幻方，其中還包含4個(gè)子幻方（如圖9），至今讓幻方迷津津樂(lè)道。
　　稍加辨析，“富蘭克林幻方” 除了每行每列的8個(gè)數(shù)字之和都等于260以外，其內(nèi)蘊(yùn)的其他種種奇妙性質(zhì)，讓人在細(xì)細(xì)回味之余驚訝不已。

　　首先，4個(gè)子幻方的每行、每列上各數(shù)和為130。其次，幻方角上的4個(gè)數(shù)與最中心4個(gè)數(shù)之和等于幻和值260。
　　第三，從16到10，再?gòu)?3到17所成折線“∧”上8個(gè)數(shù)字之和也為 260; 且平行這種折線的其他 “∧”（包括中斷進(jìn)行增補(bǔ)）上的8個(gè)數(shù)字之和也為260。
　　第四，由任意4個(gè)小方格組成的2×2正方形中，4個(gè)數(shù)字之和都是130。
　　最后，任何4個(gè)與中心等距離且位于子幻方中對(duì)等（對(duì)稱(chēng)）位置的數(shù)之和為130。比如：3+30+63+34=5+28+57+40=130。

　　“富蘭克林幻方”雖然變化多端;但美中不足的是，它的對(duì)角線上8個(gè)數(shù)字之和不等于260，這也導(dǎo)致4個(gè)子幻方的對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)字之和不等于130。這并不符合經(jīng)典幻方的定義。即便如此，“富蘭克林幻方”仍以其非凡的特性，獲得幻方研究者的一致好評(píng)和推崇。
　　幻方大王
　　“富蘭克林幻方”的小小缺憾，引發(fā)了無(wú)數(shù)幻方愛(ài)好者的興趣，許多人都潛心研究試圖達(dá)成圓滿。俗話說(shuō)“功夫不負(fù)有心人”，隨著人們的不懈努力，這個(gè)問(wèn)題最終被幻方大王弗里安遜圓滿解決。弗氏構(gòu)造的8階幻方（如圖10）完美解決了“富蘭克林幻方”存在的小缺陷，并且具備更多奇妙的特性，讓人回味無(wú)窮、嘆為觀止。
　　稍加驗(yàn)證可知，這是一個(gè)精確的8階幻方。每行、每列和兩條對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字之和都等于幻和260。
　　4個(gè)子幻方的每行、每列和兩條對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)字之和都等于130。
　　幻方的中間4排可以構(gòu)成左右兩個(gè)4階幻方（如圖陰影部分），幻和都是130。
　　圖中含有25個(gè)2×2小正方形（按上下左右的順序有16個(gè)，再加上標(biāo)注中心 的9個(gè)，彼此沒(méi)有重疊），每個(gè)方陣中的4個(gè)數(shù)字之和都等于130。
　　圖中含有24個(gè)3×3小正方形（最上面3排可構(gòu)成4個(gè)，依次往下共計(jì)類(lèi)似6種情形），每個(gè)方陣中的角上4個(gè)數(shù)字之和都等于130。
　　圖中取出任何一個(gè)4×4小正方形，其中各數(shù)字之和都等于520。
　　圖中取出任何一個(gè)5×5小正方形，角上的4個(gè)數(shù)字都成等差數(shù)列。
　　圖中任何一個(gè)長(zhǎng)方形，只要以 為中心的，角上4個(gè)數(shù)字之和也都等于130。
　　除此之外，圖中甚至還暗含8個(gè)數(shù)字之和都等于260的垂直鋸齒形、水平鋸齒形等特殊序列。
　　不愧是幻方大王，如此巧思竭慮、妙不可言的幻方，確實(shí)算得上是幻方中的大王。（未完待續(xù)）
　　【責(zé)任編輯】趙 菲