由微積分求定積分方法(微積分的簡(jiǎn)便計算方法)
1.微積分的簡(jiǎn)便計算方法有哪些
積分上限的函數及其導數
設函數f(x)在區間[a,b]上連續，并且設x為[a,b]上的一點(diǎn).現在我們來(lái)考察f(x)在部分區間[a,x]上的定積分，我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續，因此此定積分存在。
如果上限x在區間[a,b]上任意變動(dòng)，則對于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對應值，所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數，記作φ（x）:
注意：為了明確起見(jiàn)，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)）
定理（1）：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限的函數在[a,b]上具有導數，
并且它的導數是 （a≤x≤b）
(2)：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則函數就是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數。
注意：定理（2）即肯定了連續函數的原函數是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數之間的聯(lián)系。
牛頓--萊布尼茲公式
定理（3）：如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個(gè)原函數，則
注意：此公式被稱(chēng)為牛頓-萊布尼茲公式，它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數（不定積分）之間的聯(lián)系。
它表明：一個(gè)連續函數在區間[a,b]上的定積分等于它的任一個(gè)原函數再去見(jiàn)[a,b]上的增量。因此它就
給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計算方法。
例題：求
解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：
注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱(chēng)作微積分基本公式。
2.我想找“求定積分的幾種方法“
對應不定積分有初等函數解的，即可以積出來(lái)的，先積出原函數后就沒(méi)什么問(wèn)題。
對應不定積分無(wú)初等函數解的。要說(shuō)具體技巧多了，那只能就題論題，我只能說(shuō)說(shuō)思考方向。
1.考慮對稱(chēng)性，利用對稱(chēng)性抵消一部分，剩下一般為簡(jiǎn)單部分。
2.考慮區間的特殊性，利用換元構造方程。比如0到π/2,f(sinx)與f(cosx)的積分相等，就是換元t=π/2-x后得到的。
3.由定積分的性質(zhì)拆分區間構造方程。
4.轉化為二重積分，交換積分次序后，中間步驟可能會(huì )積出原函數。比如0到無(wú)窮，[e^(-2x)-e^(x)]/x的積分，可以轉化為∫[]0+，∞]dx∫[1,2]e^(-xy)/xdy，先對y積分，則e^(-xy)/x對y可以積出。
5.對于無(wú)窮或者半無(wú)窮區間的，一般可以用留數法、構造收斂因子、傅立葉變換、拉普拉斯變換等，這些相對比較難了。
6.對于特殊區間，經(jīng)過(guò)換元轉化為[0,1]上的積分，用冪級數展開(kāi)，逐項積分，最后求級數收斂值。
我能想到的只有這么多了。
以上均為求精確解，一般區間對于積不出的情況，只有用數值分析近似求解了。
3.微積分定積分
定積分是變量限定在一定的范圍內的積分，有范圍的.微積分包括微分和積分，積分和微分互為逆運算，積分又包括定積分和不定積分，不定積分是沒(méi)范圍的
眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。一元函數情況下，求微分實(shí)際上是求一個(gè)已知函數的導函數，而求積分是求已知導函數的原函數。所以，微分與積分互為逆運算。
微積分（Calculus）是高等數學(xué)中研究函數的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應用的數學(xué)分支。它是數學(xué)的一個(gè)基礎學(xué)科。內容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應用。微分學(xué)包括求導數的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線(xiàn)的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
定積分包含于微積分
微積分包括：微分，積分
積分又包括：定積分，不定積分
不定積分是只有積分號，沒(méi)有積分上下限的那種積分
定積分是不但有積分號，還有積分上下限的那種積分
微分：設函數y=f(x)的自變量有一改變量△x，則函數的對應改變量△y的近似值f~(x)*△x叫做函數y的微分.（“~”表示導數）
記為 dy=f~(x)△x
可見(jiàn)，微分的概念是在導數概念的基礎上得到的.
自變量的微分的等于自變量的改變量，則
將△x用dx代之，則微分寫(xiě)為dy=f~(x)dx
變形為：dy/dx=f~(x)
故導數又叫微商.
積分：它是微分學(xué)的逆問(wèn)題.函數f(x)的全體原函數叫做f(x)的或f(x)dx的不定積分.記作 ∫f(x)dx.
若F(x)是f(x)的原函數，則有
∫f(x)dx=F(x)+C C為任意常數，稱(chēng)為不定積分常數.
對于定積分，它的概念來(lái)源不同于不定積分.定積分檎是從極限方面來(lái).是從以“不變”代“變”，以“直”代“曲”求某個(gè)變化過(guò)程中無(wú)限多個(gè)微小量的和，最后取極限得到的.所以不定積分與定積分不是僅差一個(gè)常數的問(wèn)題，即使是在計算上僅差一常數，而且運算法則也基本相同.它們之間建立關(guān)系是通過(guò)“牛頓-萊布尼茲公式”.公式是
非曲直 ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 積分下限a，上限b
4.利用微積分基本定理求定積分,數學(xué)
求定積分：【-1,3】∫（4x-x2）dx
解：原式=（2x2-x3/3）【-1,3】=（18-9）-(2+1/3)=9-7/3=20/3
【注：∫（4x-x2）dx=∫4xdx-∫x2dx=4(x2/2)-x3/3=2x2-x3/3；然后將積分限代入即得，這不很簡(jiǎn)單嗎？】
【為什么要除以2和除以3呢？你沒(méi)學(xué)過(guò)不定積分吧？∫x?dx=x??1/（n+1）；套這個(gè)公式啊！n=1時(shí)
n+1=1+1=2，故要除以2;n=2時(shí)n+1=2+1=3，故要除以3啊！】
