彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法(彈性力學(xué)的研究方法以及解決的問(wèn)題是什么)

1.彈性力學(xué)的研究方法以及解決的問(wèn)題是什么

彈性力學(xué)是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內力，也稱(chēng)為彈性理論。

它是材料力學(xué)、結構力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎，廣泛應用于建筑、機械、化工、航天等工程領(lǐng)域。 彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當外力不超過(guò)某一限度時(shí)，除去外力后物體即恢復原狀。

絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時(shí)，一般就把它當作彈性體處理。

彈性力學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史 人類(lèi)從很早時(shí)就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當時(shí)人們還是不自覺(jué)的運用彈性原理，而人們有系統、定量地研究彈性力學(xué)，是從17世紀開(kāi)始的。

彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過(guò)實(shí)踐，尤其是通過(guò)實(shí)驗來(lái)探索彈性力學(xué)的基本規律。英國的胡克和法國的馬略特于1680年分別獨立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱(chēng)為胡克定律。

牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。 同時(shí)，數學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動(dòng)彈性力學(xué)進(jìn)入第二個(gè)時(shí)期。

在這個(gè)階段除實(shí)驗外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來(lái)處理一些簡(jiǎn)單構件的力學(xué)問(wèn)題。這些理論在后來(lái)都被指出有或多或少的缺點(diǎn)，有些甚至是完全錯誤的。

在17世紀末第二個(gè)時(shí)期開(kāi)始時(shí)，人們主要研究梁的理論。到19世紀20年代法國的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數學(xué)理論。

柯西在1822~1828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應變、應變分量、應力和應力分量的概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運動(dòng)（平衡）方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎，打開(kāi)了彈性力學(xué)向縱深發(fā)展的突破口。 第三個(gè)時(shí)期是線(xiàn)性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展的時(shí)期。

這一時(shí)期的主要標志是彈性力學(xué)廣泛應用于解決工程問(wèn)題。同時(shí)在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計算方法。

1855~1858年間法國的圣維南發(fā)表了關(guān)于柱體扭轉和彎曲的論文，可以說(shuō)是第三個(gè)時(shí)期的開(kāi)始。在他的論文中，理論結果和實(shí)驗結果密切吻合，為彈性力學(xué)的正確性提供了有力的證據；1881年德國的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時(shí)彈性體內的應力分布；1898年德國的基爾施在計算圓孔附近的應力分布時(shí)，發(fā)現了應力集中。

這些成就解釋了過(guò)去無(wú)法解釋的實(shí)驗現象，在提高機械、結構等零件的設計水平方面起了重要作用，使彈性力學(xué)得到工程界的重視。 在這個(gè)時(shí)期，彈性力學(xué)的一般理論也有很大的發(fā)展。

一方面建立了各種關(guān)于能量的定理（原理）。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計算、數值計算和其他計算方法，如著(zhù)名的瑞利——里茲法，為直接求解泛函極值問(wèn)題開(kāi)辟了道路，推動(dòng)了力學(xué)、物理、工程中近似計算的蓬勃發(fā)展。

從20世紀20年代起，彈性力學(xué)在發(fā)展經(jīng)典理論的同時(shí)，廣泛地探討了許多復雜的問(wèn)題，出現了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線(xiàn)性板殼理論和非線(xiàn)性彈性力學(xué)，考慮溫度影響的熱彈性力學(xué)，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動(dòng)彈性力學(xué)和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結構彈性理論也開(kāi)始建立起來(lái)。

此外，還建立了彈性力學(xué)廣義變分原理。這些新領(lǐng)域的發(fā)展，豐富了彈性力學(xué)的內容，促進(jìn)了有關(guān)工程技術(shù)的發(fā)展。

彈性力學(xué)的基本內容 彈性力學(xué)所依據的基本規律有三個(gè)：變形連續規律、應力-應變關(guān)系和運動(dòng)（或平衡）規律，它們有時(shí)被稱(chēng)為彈性力學(xué)三大基本規律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結論等，都可以從三大基本規律推導出來(lái)。

連續變形規律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時(shí)，只考慮經(jīng)過(guò)連續變形后仍為連續的物體，如果物體中本來(lái)就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數學(xué)中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。

求解一個(gè)彈性力學(xué)問(wèn)題，就是設法確定彈性體中各點(diǎn)的位移、應變和應力共15個(gè)函數。從理論上講，只有15個(gè)函數全部確定后，問(wèn)題才算解決。

但在各種實(shí)際問(wèn)題中，起主要作用的常常只是其中的幾個(gè)函數，有時(shí)甚至只是物體的某些部位的某幾個(gè)函數。所以常常用實(shí)驗和數學(xué)相結合的方法，就可求解。

數學(xué)彈性力學(xué)的典型問(wèn)題主要有一般性理論、柱體扭轉和彎曲、平面問(wèn)題、變截面軸扭轉，回轉體軸對稱(chēng)變形等方面。 在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。

例如，把切應力的成對性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學(xué)；把協(xié)調方程（保證物體變形后連續，各應變分量必須滿(mǎn)足的關(guān)系）發(fā)展為非協(xié)調彈性力學(xué)；推廣胡克定律，除機械運動(dòng)本身外，還考慮其他運動(dòng)形式和各種材科的物理方程稱(chēng)為本構方程。對于彈性體的某一點(diǎn)的本構方程，除考慮該點(diǎn)本身外還要考慮彈性體其他點(diǎn)對該點(diǎn)的影響，發(fā)展為非局部彈性力學(xué)等。