二次根式梳理()
1.
二次根式
I.定義：
形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
II.二次根式√ā的范圍
√ā是一個(gè)非負數。即√ā≥0。
當a>0時(shí)，√ā表示a的算術(shù)平方根。
當a=0時(shí)，√ā表示0的算術(shù)平方根，即0。
III.計算公式：
1.（√ā）2=a(a≥0)
2.當a>0時(shí)，√ā2=a
當a=0時(shí)，√ā2=0
當a3. √ā*√ō=√āō（a≥0, o≥0）
√ā÷√ō=√（ā÷ō） （a≥0, o≥0）
IV.最簡(jiǎn)二次根式
條件：（1）被開(kāi)方數不含分母；（2）被開(kāi)方數中不含能開(kāi)得盡方的因式。
V.二次根式的加減
先將二次根式各項化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數相同的根式合并。
注：二次根式有雙重非負數性.
2.初二數學(xué)二次根式的知識點(diǎn)
I.二次根式的定義和概念： 1、定義：一般地，形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式。
當a>0時(shí)，√a表示a的算數平方根，√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一個(gè)非負數。
II.二次根式√ā的簡(jiǎn)單性質(zhì)和幾何意義 1)a≥0 ； √ā≥0 [ 雙重非負性 ] 2）（√ā）^2=a (a≥0)[任何一個(gè)非負數都可以寫(xiě)成一個(gè)數的平方的形式] 3） √（a^2+b^2）表示平面間兩點(diǎn)之間的距離，即勾股定理推論。III.二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式 1）二次根式√ā的化簡(jiǎn) a(a≥0) √ā=|a|={ -a(a 2)積的平方根與商的平方根 √ab=√a·√b(a≥0,b≥0) √a/b=√a /√b(a≥0,b>0) 3）最簡(jiǎn)二次根式 條件： （1）被開(kāi)方數的因數是整數或字母，因式是整式； （2）被開(kāi)方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、√x+y 等； 含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法 1 運算法則 √a·√b=√ab(a≥0,b≥0) √a/b=√a /√b(a≥0,b>0) 二數二次根之積，等于二數之積的二次根。 2 共軛因式 如果兩個(gè)含有根式的代數式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數式叫做共軛因式，也稱(chēng)互為有理化根式。
V.二次根式的加法和減法 1 同類(lèi)二次根式 一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。 2 合并同類(lèi)二次根式 把幾個(gè)同類(lèi)二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類(lèi)二次根式。
3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數相同的進(jìn)行合并Ⅵ.二次根式的混合運算 1確定運算順序 2靈活運用運算定律 3正確使用乘法公式 4大多數分母有理化要及時(shí) 5在有些簡(jiǎn)便運算中也許可以約分，不要盲目有理化VII.分母有理化 分母有理化有兩種方法 I.分母是單項式 如：√a/√b=√a*√b/√b*√b=√ab/b II.分母是多項式 要利用平方差公式 如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b 如圖 II.分母是多項式 要利用平方差公式 如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b。
3.二次根式知識點(diǎn)
知識點(diǎn)總結
方法，和加減乘除一樣，開(kāi)根號也是一種運算，只不過(guò)這個(gè)運算有新的規則。
學(xué)數學(xué)的話(huà)，從考試的角度看，要學(xué)好兩個(gè)東西：一是基本概念和公式，另一鼉個(gè)就是題型了。接下來(lái)先說(shuō)說(shuō)基本概念，然后再說(shuō)一些題型。
學(xué)概念時(shí)要學(xué)到位，這樣做題時(shí)就會(huì )有自信，因為遇到難題時(shí)，你知道所有的東西都在這了，不會(huì )害怕還有什么別的怪招。
規則1：只能對正數和0開(kāi)根號，負數暫時(shí)是不能開(kāi)的（是暫時(shí)，以后你上高中了，負數也可以開(kāi)）。注意是所有的正數，包含整數，小數等。
規則2：除一些特殊的數，對一個(gè)具體的數如3，開(kāi)二次根號，結果是多少，不能精確的用帶小數的數表示出來(lái)。這個(gè)不像+-*÷，所以你別指望手算能把根號3的結果寫(xiě)出來(lái)，計算器上得的結果也只是近似值而已。所以根號3的結果就是根號3，要用根號表示，這個(gè)要明白。根號3就表示一個(gè)數，他的值大概是1.732。
規則3：開(kāi)二次根號和平方的運算是一對逆運算，所以他們倆總有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。平方運算也只是乘法運算而已，不是新的運算。逆運算就是，如果：
a^2=b <=> a=根號b。（這里a>=0，雙向箭頭表示左右兩邊可以互推出）
二次根式運算就和平方互為逆運算。上面你可以由a^2=b 寫(xiě)出a=根號b，也可以由 a=根號b寫(xiě)出a^2=b。
就這樣，有這個(gè)關(guān)系式，你想怎么寫(xiě)a和b之間的關(guān)系就怎么寫(xiě)，一切的關(guān)系都是有這個(gè)基本關(guān)系導出的，抓住源頭就可以解決其他派生一切問(wèn)題。
題型：
無(wú)非就是用二次根式只能對非負數開(kāi)根號，它和平方互為逆運算這兩條基本定義，其他的都是公用的數學(xué)技巧。
這里特別注意，二次根號的結果總是非負的，但平方運算的對象可以是任意的數（因為加減乘除運算對數沒(méi)有要求的，除了除法運算分母不能為0外）。所以上面如果a是負數，且a^2=b ，則 a=-根號b。例如（-2）^2=4，則-2=-根號4。所以對于一般的a，關(guān)系是：
a^2=b <=> a=+/-根號b
像則這樣，學(xué)數學(xué)時(shí)，你自己可以舉一些簡(jiǎn)單的例子來(lái)證明你自己的想法是否正確。但切記：
要證明一個(gè)結論錯誤，只需舉一個(gè)例子即可，
但要證明一個(gè)結論正確，必須能證明所有的情況下結論都正確。你不能看到一個(gè)具體的例子正確，就說(shuō)明某個(gè)一般的結論正確，否則就會(huì )犯錯誤。
例如，2乘1=2，而2除1=2，你不能就據此說(shuō)a*b=a÷b。
常見(jiàn)考法
二次根式是近幾年中考命題的必考內容，主要考查二次根式的定義及化簡(jiǎn)求值，最簡(jiǎn)二次根式、同類(lèi)二次根式的判別等，多以選擇、填空題出現。
4.初二數學(xué)二次根式的知識點(diǎn)
I.二次根式的定義和概念：
1、定義：一般地，形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式。當a>0時(shí)，√a表示a的算數平方根，√0=0
2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一個(gè)非負數。
II.二次根式√ā的簡(jiǎn)單性質(zhì)和幾何意義
1)a≥0 ； √ā≥0 [ 雙重非負性 ]
2）（√ā）^2=a (a≥0)[任何一個(gè)非負數都可以寫(xiě)成一個(gè)數的平方的形式]
3） √（a^2+b^2）表示平面間兩點(diǎn)之間的距離，即勾股定理推論。
III.二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式
1）二次根式√ā的化簡(jiǎn)
a(a≥0)
√ā=|a|={
-a(a2)積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0,b>0)
3）最簡(jiǎn)二次根式
條件：
(1)被開(kāi)方數的因數是整數或字母，因式是整式；
(2)被開(kāi)方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、√x+y 等；
含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
IV.二次根式的乘法和除法
1 運算法則
√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0,b>0)
二數二次根之積，等于二數之積的二次根。
2 共軛因式
如果兩個(gè)含有根式的代數式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數式叫做共軛因式，也稱(chēng)互為有理化根式。
V.二次根式的加法和減法
1 同類(lèi)二次根式
一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。
2 合并同類(lèi)二次根式
把幾個(gè)同類(lèi)二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類(lèi)二次根式。
3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數相同的進(jìn)行合并
Ⅵ.二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數分母有理化要及時(shí)
5在有些簡(jiǎn)便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如：√a/√b=√a*√b/√b*√b=√ab/b
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b
如圖
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/（√a+√b）（√a-√b）=√a-√b/a-b
5.初三的二次根式的全部知識
我可以教你 鄙人初中數學(xué)老師 方便的話(huà)給個(gè)郵箱 給你發(fā)過(guò)去1.2 實(shí)數 1.2.1平方根 1.2.1.1平方根的定義：如果一個(gè)數的平方等于 ，這個(gè)數就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我們就說(shuō) 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ >0），則 的平方根 記作 ，“ ”讀作“正負根號 ”，其中 讀作“二次根號”，2叫做根指數， 叫做被開(kāi)方數。 1.2.1.3平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)平方根互為相反數；0的平方根只有一個(gè)，就是0；負數沒(méi)有平方根。
1.2.1.4開(kāi)平方的定義：求一個(gè)數的平方根的運算就叫做開(kāi)平方（開(kāi)平方和平方互為逆運算）。 1.2.2算術(shù)平方根 1.2.2.1算術(shù)平方根的定義：正數 有兩個(gè)平方根，其中正數a的正的平方根叫做 的算術(shù)平方根，記作 ，讀作“根號 ”。
1.2.2.2算術(shù)平方根的性質(zhì)：①具有雙重非負性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，當 ≥0時(shí)， =∣ ∣= ；當 ≤0時(shí)， =∣ ∣=- 1.2.3立方根 1.2.3.1立方根的定義：如果一個(gè)數的立方等于 ，這個(gè)數就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根） 1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ，則x叫做a的立方根，記作 ，其中 叫做被開(kāi)方數，3叫做根指數。 1.2.3.3立方根的性質(zhì)：①正數有一個(gè)立方根，仍為正數，負數有一個(gè)立方根，仍為負數，0的立方根仍為0。
② 1.2.3.4開(kāi)立方的定義：求一個(gè)數的立方根的運算叫做開(kāi)立方（它與立方互為逆運算） 1.2.4無(wú)理數 1.2.4.1無(wú)理數的定義：無(wú)限不循環(huán)小數叫做無(wú)理數。 1.2.4.2判斷無(wú)理數的注意事項：①帶根號的數不一定是無(wú)理數，如 是有理數，而不是無(wú)理數；②無(wú)理數不一定是開(kāi)方開(kāi)不盡的數，如圓周率 1.2.5實(shí)數 1.2.5.1實(shí)數的定義：有理數和無(wú)理數的統稱(chēng) 1.2.5.2實(shí)數的性質(zhì)：①實(shí)數與數軸上的點(diǎn)一一對應②實(shí)數a的相反數是-a，實(shí)數 的倒數是 （ ≠0）③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理數范圍內的運算律、冪的運算法則、乘法公式，在實(shí)數范圍內同樣適用 1.2.5.3兩個(gè)實(shí)數的大小比較：①正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個(gè)負數比較大小，絕對值大的反而小。
②在數軸上表示的兩個(gè)數，右邊的數總比左邊的數大③作商法：兩個(gè)實(shí)數相除（除數或分母不為0）。若大于1，則被除數大；若等于1，則兩個(gè)數相等；若小于1，則除數大。
④作差法：兩個(gè)有理數相減。若大于0，則被減數大；若等于0，則兩個(gè)數相等；若小于0，則減數大。
1.2.6二次根式 1.2.6.1二次根式的定義：式子根號a ( a≥0)叫做二次根式。 1.2.6.2二次根式的運算性質(zhì)：① （ a≥0, a≥0）② （ a≥0, a>0） 1.2.6.3最簡(jiǎn)二次根式：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數的因數是整數，因式是整式②被開(kāi)方數中不含能開(kāi)得盡的因數或因式 1.2.6.4分母有理化定義：在分母含有根式的式子中，把分母中的根號劃去的過(guò)程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合運算：應按順序先做乘方運算，再做乘除運算，最后做加減運算；若有括號，應按小、中、大括號的順序進(jìn)行運算。
6.初二數學(xué)二次根式復習資料
二次根式小結與復習【主要內容】本單元是在學(xué)習了平方根和算術(shù)平方根的意義的基礎上，引入一個(gè)符號“”.主要內容有：（1）二次根式的有關(guān)概念，如：二次根式定義、最簡(jiǎn)二次根式、同類(lèi)二次根式等；（2）二次根式的性質(zhì)；（3）二次根式的運算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加減法等.【要點(diǎn)歸納】 1。
二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開(kāi)方數，只有當是一個(gè)非負數時(shí)，才有意義. 2。 二次根式的性質(zhì)：①②③④ 3。
二次根式的運算二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減. （1）二次根式的加減：需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開(kāi)方數相同的二次根式（即同類(lèi)二次根式）的系數相加減，被開(kāi)方數不變。 注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類(lèi)二次根式，通常是先化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類(lèi)二次根式合并.但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式的被開(kāi)方數應不含分母，不含能開(kāi)得盡的因數.（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實(shí)際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡(jiǎn)二次根式. （4）二次根式的混合運算： 先乘方（或開(kāi)方），再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；能利用運算律或乘法公式進(jìn)行運算的，可適當改變運算順序進(jìn)行簡(jiǎn)便運算.注意：進(jìn)行根式運算時(shí)，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點(diǎn)，掌握方法與技巧，以便使運算過(guò)程簡(jiǎn)便.二次根式運算結果應盡可能化簡(jiǎn).另外，根式的分數必須寫(xiě)成假分數或真分數，不能寫(xiě)成帶分數.例如不能寫(xiě)成.（5）有理化因式：一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類(lèi)： ①與； ②與；③與； ④與. 說(shuō)明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化.【難點(diǎn)指導】1、如果是二次根式，則一定有；當時(shí)，必有；2、當時(shí)，表示的算術(shù)平方根，因此有；反過(guò)來(lái)，也可以將一個(gè)非負數寫(xiě)成的形式；3、表示的算術(shù)平方根，因此有，可以是任意實(shí)數；4、區別和的不同：中的可以取任意實(shí)數，中的只能是一個(gè)非負數，否則無(wú)意義.5、簡(jiǎn)化二次根式的被開(kāi)方數，主要有兩個(gè)途徑：（1）因式的內移：因式內移時(shí)，若，則將負號留在根號外.即：.（2）因式外移時(shí)，若被開(kāi)數中字母取值范圍未指明時(shí)，則要進(jìn)行討論.即：6、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有. 說(shuō)明：一般情況下，可將根號外的因式都移到根號里面去以后再比較大小.。
7.初三的二次根式的全部知識
我可以教你 鄙人初中數學(xué)老師 方便的話(huà)給個(gè)郵箱 給你發(fā)過(guò)去
1.2 實(shí)數
1.2.1平方根
1.2.1.1平方根的定義：如果一個(gè)數的平方等于 ，這個(gè)數就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我們就說(shuō) 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ >0），則 的平方根 記作 ，“ ”讀作“正負根號 ”，其中 讀作“二次根號”，2叫做根指數， 叫做被開(kāi)方數。
1.2.1.3平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)平方根互為相反數；0的平方根只有一個(gè)，就是0；負數沒(méi)有平方根。
1.2.1.4開(kāi)平方的定義：求一個(gè)數的平方根的運算就叫做開(kāi)平方（開(kāi)平方和平方互為逆運算）。
1.2.2算術(shù)平方根
1.2.2.1算術(shù)平方根的定義：正數 有兩個(gè)平方根，其中正數a的正的平方根叫做 的算術(shù)平方根，記作 ，讀作“根號 ”。
1.2.2.2算術(shù)平方根的性質(zhì)：①具有雙重非負性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，當 ≥0時(shí)， =∣ ∣= ；當 ≤0時(shí)， =∣ ∣=-
1.2.3立方根
1.2.3.1立方根的定義：如果一個(gè)數的立方等于 ，這個(gè)數就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根）
1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ，則x叫做a的立方根，記作 ，其中 叫做被開(kāi)方數，3叫做根指數。
1.2.3.3立方根的性質(zhì)：①正數有一個(gè)立方根，仍為正數，負數有一個(gè)立方根，仍為負數，0的立方根仍為0。②
1.2.3.4開(kāi)立方的定義：求一個(gè)數的立方根的運算叫做開(kāi)立方（它與立方互為逆運算）
1.2.4無(wú)理數
1.2.4.1無(wú)理數的定義：無(wú)限不循環(huán)小數叫做無(wú)理數。
1.2.4.2判斷無(wú)理數的注意事項：①帶根號的數不一定是無(wú)理數，如 是有理數，而不是無(wú)理數；②無(wú)理數不一定是開(kāi)方開(kāi)不盡的數，如圓周率
1.2.5實(shí)數
1.2.5.1實(shí)數的定義：有理數和無(wú)理數的統稱(chēng)
1.2.5.2實(shí)數的性質(zhì)：①實(shí)數與數軸上的點(diǎn)一一對應②實(shí)數a的相反數是-a，實(shí)數 的倒數是 （ ≠0）③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理數范圍內的運算律、冪的運算法則、乘法公式，在實(shí)數范圍內同樣適用
1.2.5.3兩個(gè)實(shí)數的大小比較：①正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個(gè)負數比較大小，絕對值大的反而小。②在數軸上表示的兩個(gè)數，右邊的數總比左邊的數大③作商法：兩個(gè)實(shí)數相除（除數或分母不為0）。若大于1，則被除數大；若等于1，則兩個(gè)數相等；若小于1，則除數大。④作差法：兩個(gè)有理數相減。若大于0，則被減數大；若等于0，則兩個(gè)數相等；若小于0，則減數大。
1.2.6二次根式
1.2.6.1二次根式的定義：式子根號a ( a≥0)叫做二次根式。
1.2.6.2二次根式的運算性質(zhì)：① （ a≥0, a≥0）② （ a≥0, a>0）
1.2.6.3最簡(jiǎn)二次根式：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數的因數是整數，因式是整式②被開(kāi)方數中不含能開(kāi)得盡的因數或因式
1.2.6.4分母有理化定義：在分母含有根式的式子中，把分母中的根號劃去的過(guò)程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合運算：應按順序先做乘方運算，再做乘除運算，最后做加減運算；若有括號，應按小、中、大括號的順序進(jìn)行運算。
8.九年級上冊數學(xué)二次根式知識點(diǎn)歸納
一、本節學(xué)習指導
學(xué)習二次根式時(shí)，
我們把平方根的知識順帶鞏固一下。
這就是系統性學(xué)習，
這樣學(xué)習的
好處是把零碎的知識可以系統起來(lái)。
本節中我們要對二次根式有意義的條件要掌握。
本節知
識適當做練習題即可掌握，本節有配套免費學(xué)習視頻。
二、知識要點(diǎn)
1
、二次根式的概念
：形如
a
(
a
≥
0
)的式子叫做二次根式。
注意：
在二次根式中，被開(kāi)放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必
須注意：
因為負數沒(méi)有平方根，
所以
a
≥
0
是
a
為二次根式的前提條件，
如
5
,
2
1
x
?
,
等是二次根式，而
5
?
,
2
x
?
等都不是二次根式。
2
、取值范圍
(
1
)
、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當
a
≧
0
時(shí)，
a
有意義，是二次
根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數大于或等于零即可。
(
2
)
、二次根式無(wú)意義的條件：因負數沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當
a
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時(shí)，
a
沒(méi)有意義。
