整式的乘法梳理(整式的乘除知識(shí)點(diǎn))
1.整式的乘除知識(shí)點(diǎn)
單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。
代數(shù)式中的一種有理式.不含除法運(yùn)算或分?jǐn)?shù)，以及雖有除法運(yùn)算及分?jǐn)?shù)，但除式或分母中不含變數(shù)者，則稱為整式。 （含有字母有除法運(yùn)算的，那么式子 叫做分式fraction.） 整式可以分為定義和運(yùn)算，定義又可以分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，運(yùn)算又可以分為加減和乘除。
加減包括合并同類項(xiàng)，乘除包括基本運(yùn)算、法則和公式，基本運(yùn)算又可以分為冪的運(yùn)算性質(zhì)，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。 整式和同類項(xiàng) 1.單項(xiàng)式 （1）單項(xiàng)式的表示形式：1、數(shù)與字母的乘積這樣的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式2、單個(gè)字母也是單項(xiàng)式。
3、單個(gè)的數(shù)是單項(xiàng)式4、字母與字母相乘成為單項(xiàng)式5、數(shù)與數(shù)相乘稱為單項(xiàng)式 （2）單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的 數(shù)字因數(shù)及性質(zhì)符號(hào)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。 如果一個(gè)單項(xiàng)式，只含有數(shù)字因數(shù)，是正數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為1，是負(fù)數(shù)的單項(xiàng)式系數(shù)為—1。
(3)單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。 2.多項(xiàng)式 （1）多項(xiàng)式的概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。
在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。
多項(xiàng)式中的符號(hào)，看作各項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)。一元N次多項(xiàng)式最多N+1項(xiàng) （2）多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
（3）多項(xiàng)式的排列： 1.把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列。 2.把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列。
由于多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，所以可以用加法的運(yùn)算定律，來交換各項(xiàng)的位置，而保持原多項(xiàng)式的值不變。 為了便于多項(xiàng)式的計(jì)算，通?？偸前岩粋€(gè)多項(xiàng)式，按照一定的順序，整理成整潔簡(jiǎn)單的形式，這就是多項(xiàng)式的排列。
在做多項(xiàng)式的排列的題時(shí)注意： （1）由于單項(xiàng)式的項(xiàng)，包括它前面的性質(zhì)符號(hào)，因此在排列時(shí)，仍需把每一項(xiàng)的性質(zhì)符號(hào)看作是這一項(xiàng)的一部分，一起移動(dòng)。 （2）有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，排列時(shí)，要注意： a.先確認(rèn)按照哪個(gè)字母的指數(shù)來排列。
b.確定按這個(gè)字母向里排列，還是向外排列。 （3）整式： 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。
（4）同類項(xiàng)的概念： 所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也叫同類項(xiàng)。 掌握同類項(xiàng)的概念時(shí)注意： 1.判斷幾個(gè)單項(xiàng)式或項(xiàng)，是否是同類項(xiàng)，就要掌握兩個(gè)條件： ①所含字母相同。
②相同字母的次數(shù)也相同。 2.同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，與字母排列的順序也無關(guān)。
3.幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。 （5）合并同類項(xiàng)： 1.合并同類項(xiàng)的概念： 把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。
2.合并同類項(xiàng)的法則： 同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。 3.合并同類項(xiàng)步驟： ⑴.準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng)。
⑵.逆用分配律，把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起（用小括號(hào)），字母和字母的指數(shù)不變。 ⑶.寫出合并后的結(jié)果。
在掌握合并同類項(xiàng)時(shí)注意： 1.如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0. 2.不要漏掉不能合并的項(xiàng)。 3.只要不再有同類項(xiàng)，就是結(jié)果（可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式）。
合并同類項(xiàng)的關(guān)鍵：正確判斷同類項(xiàng)。 整式和整式的乘法 整式可以分為定義和運(yùn)算，定義又可以分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，運(yùn)算又可以分為加減和乘除。
加減包括合并同類項(xiàng)，乘除包括基本運(yùn)算、法則和公式，基本運(yùn)算又可以分為冪的運(yùn)算性質(zhì)，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。 同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加。
冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 積的乘方法則：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘有以下法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘有以下法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘有下面的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。
完全平方公式：兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的2倍。 兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和，減去這兩積的2倍。
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 談?wù)綄W(xué)習(xí)的要點(diǎn) 屠新民 整式是代數(shù)式中最基本的式子，引進(jìn)整式是實(shí)際的需要，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容（例如分式、一元二次方程等）的需要。
整式是在以前學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一元一次方程及不等式的基礎(chǔ)上引進(jìn)的。事實(shí)上，整式的有關(guān)內(nèi)容在六年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過，但現(xiàn)在的整式內(nèi)容比過去更加強(qiáng)了應(yīng)用，增加了實(shí)際應(yīng)用的背景。
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖： 本章有較多的知識(shí)點(diǎn)屬于重點(diǎn)或難點(diǎn)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的內(nèi)容為如下三個(gè)方面。 一、整式的四則運(yùn)算 1. 整式的加減 合并同類項(xiàng)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。
合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)。
2.整式的乘法公式講解
(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 （a-b） (a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 歸納 這兩個(gè)公式叫做完全平方公式，兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。
我們通常表示為： （a±b）^2=a^2±2ab+b^2 注： 通常a,b是表示一個(gè)整體的代數(shù)式，不一定是數(shù)，例如：[（3x-y）-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2 [編輯本段]常見錯(cuò)誤 完全平方公式中常見錯(cuò)誤有：①學(xué)生難于跳出原有的定式思維，如典型錯(cuò)誤； （錯(cuò)因：在公式的基礎(chǔ)上類推，隨意“創(chuàng)造”）②混淆公式；③運(yùn)算結(jié)果中符號(hào)錯(cuò)誤；④變式應(yīng)用難于掌握。[編輯本段]學(xué)習(xí)方法及例題 一、理解公式左右邊特征 （一）學(xué)會(huì)推導(dǎo)公式（這兩個(gè)公式是根據(jù)乘方的意義與多項(xiàng)式的乘法法則得到的），真實(shí)體會(huì)隨意“創(chuàng)造”的不正確性； （二）學(xué)會(huì)用文字概述公式的含義： 兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍. 與都叫做完全平方公式.為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式. （三）這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征是： 1、左邊是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘，右邊是三項(xiàng)式，是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的平方和，加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍； 2、左邊兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，右邊各項(xiàng)全用“+”號(hào)連接；左邊兩項(xiàng)符號(hào)相反時(shí)，右邊平方項(xiàng)用“+”號(hào)連接后再“-”兩項(xiàng)乘積的2倍（注：這里說項(xiàng)時(shí)未包括其符號(hào)在內(nèi)）； 3、公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等數(shù)學(xué)式. （四）兩個(gè)公式的統(tǒng)一： 因?yàn)?所以兩個(gè)公式實(shí)際上可以看成一個(gè)公式：兩數(shù)和的完全平方公式。
這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運(yùn)算符號(hào)的出錯(cuò)。 二、把握運(yùn)用公式四步曲： 1、“察”：計(jì)算時(shí)，要先觀察題目特點(diǎn)是否符合公式的條件，若不符合，應(yīng)先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進(jìn)行計(jì)算，若不能變?yōu)榉瞎綏l件的形式，則應(yīng)運(yùn)用相應(yīng)乘法法則進(jìn)行計(jì)算. 2、“導(dǎo)”：正確地選用完全平方公式，關(guān)鍵是確定式子中a、b分別表示什么數(shù)或式. 3、“算”：注意每步的運(yùn)算依據(jù)，即各個(gè)環(huán)節(jié)的算理。
4、“驗(yàn)”：完成運(yùn)算后學(xué)會(huì)檢驗(yàn)，既回過頭來再反思每步的計(jì)算依據(jù)和符號(hào)等各方面是否正確無誤，又可通過多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行驗(yàn)算，確保萬無一失。 三、掌握運(yùn)用公式常規(guī)四變 （一）、變符號(hào)： 例1：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算： （1） (2) 分析：本例改變了公式中a、b的符號(hào)，處理方法之一：把兩式分別變形為再用公式計(jì)算（反思得：）；方法二：把兩式分別變形為：后直接用公式計(jì)算；方法三：把兩式分別變形為：后直接用公式計(jì)算（此法是在把兩個(gè)公式統(tǒng)一的基礎(chǔ)上進(jìn)行，易于理解不會(huì)混淆）； （二）、變項(xiàng)數(shù)： 例2：計(jì)算： 分析：完全平方公式的左邊是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項(xiàng)，故應(yīng)考慮將其中兩項(xiàng)結(jié)合運(yùn)用整體思想看成一項(xiàng)，從而化解矛盾。
所以在運(yùn)用公式時(shí)，可先變形為或或者，再進(jìn)行計(jì)算. （三）、變結(jié)構(gòu) 例3：運(yùn)用公式計(jì)算： （1）(x+y)·（2x+2y）; (2)(a+b)·（-a-b）; (3)(a-b)·（b-a） 分析；本例中所給的均是二項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式，表面看外觀結(jié)構(gòu)不符合公式特征，但仔細(xì)觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個(gè)因式作適當(dāng)變形就可以了，即 （1）(x+y)·（2x+2y）=2(x+y)?; (2)(a+b)·（-a-b）=-(a+b)?; (3)(a-b)·（b-a）=-(a-b)？ （四）、簡(jiǎn)便運(yùn)算 例4：計(jì)算：（1）9992(2)100.12 分析：本例中的999接近1000,100.1接近100，故可化成兩個(gè)數(shù)的和或差，從而運(yùn)用完全平方公式計(jì)算。即：（1）。
四、學(xué)會(huì)公式運(yùn)用中三拓展 1、公式的混用 例5：計(jì)算： （l）(x+y+z)(x+y-z) (2)(2x-y+3z)(y-3z-2x) 分析：此例是三項(xiàng)式乘以三項(xiàng)式，特點(diǎn)是：有些項(xiàng)相同，另外的項(xiàng)互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng)分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計(jì)算后，再運(yùn)用完全平方公式等計(jì)算。
即：（1）(x+y+z)(x+y-z)=[(x+y)+z][(x+y)-z]=… （2）(2x-y+3z)(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x+(y-3z)]=…2、公式的變形： 熟悉完全平方公式的變形式，是相關(guān)整體代換求知值的關(guān)鍵。 例6：已知實(shí)數(shù)a、b滿足（a+b）2=10,ab=1。
求下列各式的值： （1）a2+b2;(2)(a-b)2 分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把a(bǔ)、b的值分別求出來，非常困難；仔細(xì)探究易把這些條件同完全平方公式結(jié)合起來，運(yùn)用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。即：（1）a2+b2=(a+b)2-2ab=… （2）(a-b)2=(a+b)2-4ab=… 3、公式的逆用： 例7：計(jì)算： 分析：本題若直接運(yùn)用乘法公式和法則較繁瑣，仔細(xì)分析可發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)恰似完全平方公式的右邊，不妨把公式倒過來用可得：==4(a+b)(a-b)=a^2-b^2 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這個(gè)公式就叫做乘法的平方差公式。
[編輯本段]說明 當(dāng)乘式是兩個(gè)數(shù)之和以及這兩個(gè)數(shù)之差相乘時(shí)，積是二項(xiàng)式。這是因?yàn)榫邆溥@樣特點(diǎn)的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積的四項(xiàng)中，會(huì)出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項(xiàng)，合并這兩項(xiàng)的結(jié)果為零，于是就剩下兩項(xiàng)了。
而它們的積等于乘式中這兩個(gè)數(shù)的平方差，即a^-b^ =(a+b)(a-b) 兩數(shù)和於這兩數(shù)差的基，等於它們的平方差。 [逆推導(dǎo)。
3.整式乘法運(yùn)算的幾種常用技巧
在整式的計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值中，若能正確、靈活地運(yùn)用法則、公式，并且掌握某些運(yùn)算技巧，就能使代數(shù)運(yùn)算變得十分簡(jiǎn)潔.下面歸納、總結(jié)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考. .適當(dāng)變形，運(yùn)用公利側(cè)考分析計(jì)算：（‘一5）(l一勃一1).. （'一制.：直接計(jì)算，要計(jì)算10個(gè)減法運(yùn)算、10個(gè)乘側(cè)夕化簡(jiǎn)：（x+即-32）(x一勿+3z).分析：兩個(gè)含有三項(xiàng)的多項(xiàng)式相乘，需相乘9次，再合并同類項(xiàng)，這是一項(xiàng)多么麻煩的計(jì)算！現(xiàn)在我們來觀察因式（x+即一3：）、（x一即十玉），不難發(fā)現(xiàn)即一3z和~2少+玉互為相反數(shù)，于是想到將x一壽+3z變形為二-（即一3z），從而便可以運(yùn)用平方差公式來計(jì)算.解：原式二〔x+（即一3z）〕〔x一（即一3z）」=x2一（即一32）2 =x七（分一12yz+卯） =x Zee州+l如一922.側(cè)2計(jì)算：（2+x）(22+l)(24+1)(28+一)（2,6+1）.分析：此題若是直接計(jì)算，指數(shù)大，太繁了！從所求式子看，是5個(gè)兩數(shù)和的積，要是能出現(xiàn)相對(duì)應(yīng)的兩數(shù)差就好了，以便運(yùn)用平方差公式.由（2+l）這個(gè)因數(shù)啟發(fā)我們：將所求式子乘1，即將所求式子乘以（2一l），就會(huì)連續(xù)出現(xiàn)。
4.初一下 整式的乘除 的性質(zhì),要點(diǎn)和意義
整式和整式的乘法
整式可以分為定義和運(yùn)算，定義又可以分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，運(yùn)算又可以分為加減和乘除。
加減包括合并同類項(xiàng)，乘除包括基本運(yùn)算、法則和公式，基本運(yùn)算又可以分為冪的運(yùn)算性質(zhì)，法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。
同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加。
冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
積的乘方法則：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘有以下法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘有以下法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘有下面的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。
完全平方公式：兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的2倍。 兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和，減去這兩積的2倍。
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
整式是代數(shù)式中最基本的式子，引進(jìn)整式是實(shí)際的需要，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一元一次方程及不等式的基礎(chǔ)上引進(jìn)的。事實(shí)上，整式的有關(guān)內(nèi)容在六年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過，但現(xiàn)在的整式內(nèi)容比過去更加強(qiáng)了應(yīng)用，增加了實(shí)際應(yīng)用的背景。
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：
本章有較多的知識(shí)點(diǎn)屬于重點(diǎn)或難點(diǎn)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的內(nèi)容為如下三個(gè)方面。
一、整式的四則運(yùn)算
1. 整式的加減
合并同類項(xiàng)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)字母和字母指數(shù)；②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變。
2. 整式的乘除
重點(diǎn)是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中的字母的廣泛含義，學(xué)生不易掌握。因此，乘法公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，添括號(hào)（或去括號(hào)）時(shí)，括號(hào)中符號(hào)的處理是另一個(gè)難點(diǎn)。添括號(hào)（或去括號(hào)）是對(duì)多項(xiàng)式的變形，要根據(jù)添括號(hào)（或去括號(hào)）的法則進(jìn)行。在整式的乘除中，單項(xiàng)式的乘除是關(guān)鍵，這是因?yàn)椋话愣囗?xiàng)式的乘除都要“轉(zhuǎn)化”為單項(xiàng)式的乘除。
整式四則運(yùn)算的主要題型有：
(1)單項(xiàng)式的四則運(yùn)算
此類題目多以選擇題和應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，其特點(diǎn)是考查單項(xiàng)式的四則運(yùn)算。
(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的運(yùn)算
此類題目多以解答題的形式出現(xiàn)，技巧性強(qiáng)，其特點(diǎn)為考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的四則運(yùn)算。
二、因式分解
難點(diǎn)是因式分解的四種基本方法（提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法）。因式分解是整式乘法的逆向變形，因式分解的方法的引入要緊緊抓住這一點(diǎn)。
5.如何整理課本上十四章整式的乘法與因式分解
因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法.而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，輪換對(duì)稱法，剩余定理法等. 基本方法 ⑴提公因式法 各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式. 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. 具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的. ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法. 平方差公式：a2-b2=（a+b）(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2； 注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍. 立方和公式：a3+b3=（a+b）(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=（a-b）(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3. ⑶分組分解法 分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，我們來學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí). 能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
6.整式乘法運(yùn)算的幾種常用技巧求解答
在整式的計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值中，若能正確、靈活地運(yùn)用法則、公式，并且掌握某些運(yùn)算技巧，就能使代數(shù)運(yùn)算變得十分簡(jiǎn)潔.下面歸納、總結(jié)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考. .適當(dāng)變形，運(yùn)用公利側(cè)考分析計(jì)算：（‘一5）(l一勃一1)..·（‘一制.：直接計(jì)算，要計(jì)算10個(gè)減法運(yùn)算、10個(gè)乘側(cè)夕化簡(jiǎn)：（x+即-32）(x一勿+3z).分析：兩個(gè)含有三項(xiàng)的多項(xiàng)式相乘，需相乘9次，再合并同類項(xiàng)，這是一項(xiàng)多么麻煩的計(jì)算！現(xiàn)在我們來觀察因式（x+即一3：）、（x一即十玉），不難發(fā)現(xiàn)即一3z和~2少+玉互為相反數(shù)，于是想到將x一壽+3z變形為二-（即一3z），從而便可以運(yùn)用平方差公式來計(jì)算.解：原式二〔x+（即一3z）〕〔x一（即一3z）」=x2一（即一32）2 =x七（分一12yz+卯） =x Zee州+l如一922.側(cè)2計(jì)算：（2+x）(22+l)(24+1)(28+一)（2,6+1）.分析：此題若是直接計(jì)算，指數(shù)大，太繁了！從所求式子看，是5個(gè)兩數(shù)和的積，要是能出現(xiàn)相對(duì)應(yīng)的兩數(shù)差就好了，以便運(yùn)用平方差公式.由（2+l）這個(gè)因數(shù)啟發(fā)我們：將所求式子乘1，即將所求式。
7.整式的乘除與因式分解總結(jié)
一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
（二）教科書內(nèi)容
本章共包括4節(jié)
15.1 整式的乘法
整式的乘法是整式四則運(yùn)算的重要組成部分。本節(jié)分為四個(gè)小節(jié)，主要內(nèi)容是整式的乘法，這些內(nèi)容是在學(xué)生掌握了有理數(shù)運(yùn)算、整式加減運(yùn)算等知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。其中，冪的運(yùn)算性質(zhì)，即同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ)，教科書把它們依次安排在前三個(gè)小節(jié)中，教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)復(fù)習(xí)冪、指數(shù)、底數(shù)等概念，特別要弄清正整數(shù)指數(shù)冪的意義。
在學(xué)生掌握了冪的運(yùn)算性質(zhì)后，作為它們的一個(gè)直接應(yīng)用，教科書在第四小節(jié)安排一般整式乘法的教學(xué)內(nèi)容。首先是單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，由于進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的前提是熟練地進(jìn)行單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，因此，對(duì)于單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的教學(xué)應(yīng)該予以充分重視。在學(xué)生掌握了單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的基礎(chǔ)上，教科書利用分配律等進(jìn)一步引入單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，這樣使整式乘法運(yùn)算的教學(xué)從簡(jiǎn)到繁，由易到難，層層遞進(jìn)。
15.2 乘法公式
本節(jié)分為兩個(gè)小節(jié)，分別介紹平方差公式與完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在學(xué)習(xí)了一般的整式乘法知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，運(yùn)用乘法公式能簡(jiǎn)化一些特定類型的整式相乘的運(yùn)算問題，教科書在本節(jié)開始首先指出了這一點(diǎn)。接著，在第一小節(jié)安排了平方差公式的教學(xué)，教科書首先安排了下一個(gè)“探究”欄目，安排了3個(gè)題目，讓學(xué)生通過計(jì)算，總結(jié)三個(gè)題目結(jié)果的共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。接著，教科書推證了平方差公式，并進(jìn)一步借助于幾何圖形對(duì)公式作了直觀解釋，讓學(xué)生能更好地理解此公式。最后，舉例說明運(yùn)用平方差公式進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算。第二小節(jié)教科書設(shè)計(jì)了與第一小節(jié)類似的教學(xué)過程，引進(jìn)了乘法的完全平方公式。
為了滿足整式運(yùn)算的需要，在本小節(jié)引進(jìn)了添括號(hào)法則，這也是很重要的整式運(yùn)算知識(shí)。
15.3 整式的除法
整式的除法也是整式四則運(yùn)算的重要組成部分。本節(jié)也分為兩個(gè)小節(jié)。同底數(shù)冪的除法是學(xué)習(xí)整式除法的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，因此教科書在第一小節(jié)中首先介紹同底數(shù)冪除法的性質(zhì)。對(duì)于同底數(shù)冪除法，這里只先討論所得商仍是整式的情形，對(duì)于所得商是分式的情形將在后續(xù)內(nèi)容引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念以后再討論。
能熟練地進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法是進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式等一般的整式除法的前提。在第二小節(jié)，教科書根據(jù)乘、除互為逆運(yùn)算的關(guān)系，并以分配律、同底數(shù)冪的除法為依據(jù)，由計(jì)算具體的實(shí)例得到單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則。同樣地，對(duì)于單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法，討論的問題也都在被除式中字母的指數(shù)大于或等于除式中字母的指數(shù)的限制條件范圍內(nèi)。
對(duì)于多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，教科書是從計(jì)算來導(dǎo)出運(yùn)算法則的，根據(jù)是乘除法互為逆運(yùn)算以及分配律?？梢钥闯?，法則的基本點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的除法，而單項(xiàng)式除法是已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了的。
在本章中，不討論多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式等一般性的問題。
15.4 因式分解
因式分解是解析式的一種恒等變形，因式分解不但在解方程等問題中極其重要，在數(shù)學(xué)科學(xué)其他問題和一般科學(xué)研究中也具有廣泛應(yīng)用，是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定系數(shù)法等。本教科書安排了多項(xiàng)式因式分解比較基本的知識(shí)和方法，它包括因式分解的有關(guān)概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別與聯(lián)系，因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法。兩種方法分別安排在第1和第2小節(jié)。
