二次函數點(diǎn)總結(有關(guān)二次函數的知識點(diǎn))
1.有關(guān)二次函數的知識點(diǎn)
二次函數知識點(diǎn)一、二次函數概念：1.二次函數的概念：一般地，形如 （ 是常數， ）的函數，叫做二次函數。
這里需要強調：和一元二次方程類(lèi)似，二次項系數 ，而 可以為零.二次函數的定義域是全體實(shí)數.2. 二次函數 的結構特征：⑴ 等號左邊是函數，右邊是關(guān)于自變量 的二次式， 的最高次數是2.⑵ 是常數， 是二次項系數， 是一次項系數， 是常數項.二、二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式： 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。 的符號開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 性質(zhì)向上 軸 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 有最小值 .向下 軸 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .2. 的性質(zhì)：上加下減。
的符號開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 性質(zhì)向上 軸 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 有最小值 .向下 軸 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .3. 的性質(zhì)：左加右減。 的符號開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 性質(zhì)向上 X=h 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 有最小值 .向下 X=h 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .4. 的性質(zhì)： 的符號開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 性質(zhì)向上 X=h 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 有最小值 .向下 X=h 時(shí)， 隨 的增大而減小； 時(shí)， 隨 的增大而增大； 時(shí)， 有最大值 .三、二次函數圖象的平移 1. 平移步驟：方法一：⑴ 將拋物線(xiàn)解析式轉化成頂點(diǎn)式 ，確定其頂點(diǎn)坐標 ；⑵ 保持拋物線(xiàn) 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到 處，具體平移方法如下： 2. 平移規律 在原有函數的基礎上“ 值正右移，負左移； 值正上移，負下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”. 方法二：⑴ 沿 軸平移：向上（下）平移 個(gè)單位， 變成 （或 ）⑵ 沿軸平移：向左（右）平移 個(gè)單位， 變成 （或 ）四、二次函數 與 的比較從解析式上看， 與 是兩種不同的表達形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函數 圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數 化為頂點(diǎn)式 ，確定其開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標，然后在對稱(chēng)軸兩側，左右對稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 軸的交點(diǎn) 、以及 關(guān)于對稱(chēng)軸對稱(chēng)的點(diǎn) 、與 軸的交點(diǎn) ， （若與 軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱(chēng)軸對稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與 軸的交點(diǎn)，與 軸的交點(diǎn).六、二次函數 的性質(zhì) 1. 當 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對稱(chēng)軸為 ，頂點(diǎn)坐標為 .當 時(shí)， 隨 的增大而減小；當 時(shí)， 隨 的增大而增大；當 時(shí)， 有最小值 . 2. 當 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對稱(chēng)軸為 ，頂點(diǎn)坐標為 .當 時(shí)， 隨 的增大而增大；當 時(shí)， 隨 的增大而減小；當 時(shí)， 有最大值 .七、二次函數解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 為常數， ）；2. 頂點(diǎn)式： （ ， ， 為常數， ）；3. 兩根式： （ ， ， 是拋物線(xiàn)與 軸兩交點(diǎn)的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與 軸有交點(diǎn)，即 時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關(guān)系 1. 二次項系數 二次函數 中， 作為二次項系數，顯然 . ⑴ 當 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上， 的值越大，開(kāi)口越小，反之 的值越小，開(kāi)口越大； ⑵ 當 時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下， 的值越小，開(kāi)口越小，反之 的值越大，開(kāi)口越大.總結起來(lái)， 決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向， 的正負決定開(kāi)口方向， 的大小決定開(kāi)口的大小.2. 一次項系數 在二次項系數 確定的前提下， 決定了拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸. ⑴ 在 的前提下，當 時(shí)， ，即拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸在 軸左側；當 時(shí)， ，即拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸就是 軸；當 時(shí)， ，即拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸在 軸的右側.⑵ 在 的前提下，結論剛好與上述相反，即當 時(shí)， ，即拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸在 軸右側；當 時(shí)， ，即拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸就是 軸；當 時(shí)， ，即拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸在 軸的左側.總結起來(lái)，在 確定的前提下， 決定了拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸的位置. 的符號的判定：對稱(chēng)軸 在 軸左邊則 ，在 軸的右側則 ，概括的說(shuō)就是“左同右異”總結： 3. 常數項 ⑴ 當 時(shí)，拋物線(xiàn)與 軸的交點(diǎn)在 軸上方，即拋物線(xiàn)與 軸交點(diǎn)的縱坐標為正； ⑵ 當 時(shí)，拋物線(xiàn)與 軸的交點(diǎn)為坐標原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與 軸交點(diǎn)的縱坐標為 ； ⑶ 當 時(shí)，拋物線(xiàn)與 軸的交點(diǎn)在 軸下方，即拋物線(xiàn)與 軸交點(diǎn)的縱坐標為負. 總結起來(lái)， 決定了拋物線(xiàn)與 軸交點(diǎn)的位置. 總之，只要 都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的.二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點(diǎn)，選擇適當的形式，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或對稱(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線(xiàn)與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線(xiàn)上縱坐標相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數圖象的對稱(chēng) 二次函數圖象的對稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達 1. 關(guān)于 軸對稱(chēng) 關(guān)于 軸對稱(chēng)后，得到的解析式是 ； 。
2.二次函數的知識點(diǎn)有哪些
二次函數的知識點(diǎn)
1.二次函數的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)
2.圖像和性質(zhì)：
二次函數y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；
二次函數y=ax^2(a<0)的圖像和性質(zhì)；
二次函數y=ax^2+bx+c(a>0)的圖像和性質(zhì)；
二次函數y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).
圖像：列對應值描點(diǎn)作圖法；
根據對稱(chēng)性作圖法.
圖像的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標，與坐標軸的交點(diǎn)坐標.
性質(zhì)：對稱(chēng)性，對稱(chēng)軸及方程；
單調性，單調區間；
最大值，最小值.
3.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應用：
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h
兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)
4.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換
5.常用方法：
配方法.
待定系數法.
。..
3.二次函數知識點(diǎn)歸納
二次函數 I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì)1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 當a與b異號時(shí)（即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c）6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax^2;+bx+c，當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。答案補充 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí)，應先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計算、描點(diǎn)的整數值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢。二次函數解析式的幾種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.說(shuō)明：（1）任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補充 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對稱(chēng)軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設y=ax^2+k 定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變量，y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。
4.二次函數的知識點(diǎn)有哪些
二次函數的知識點(diǎn)1.二次函數的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)2.圖像和性質(zhì)：二次函數y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；二次函數y=ax^2(a0)的圖像和性質(zhì)；二次函數y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).圖像：列對應值描點(diǎn)作圖法； 根據對稱(chēng)性作圖法.圖像的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標，與坐標軸的交點(diǎn)坐標.性質(zhì)：對稱(chēng)性，對稱(chēng)軸及方程； 單調性，單調區間；最大值，最小值.3.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應用：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換5.常用方法：配方法.待定系數法。
5.有關(guān)二次函數的所有知識點(diǎn)
函數單元測試題1.已知一個(gè)正比例函數的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,4），則這個(gè)正比例函數的表達式是 。
2.若函數y= -2xm+2是正比例函數，則m的值是 。 3.一次函數y= -2x+4的圖象與x軸交點(diǎn)坐標是 ，與y軸交點(diǎn)坐標是 ，圖象與坐標軸所圍成的三角形面積是 。
4.如圖：三個(gè)正比例函數的圖像分別對應的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，則a、b、c的大小關(guān)系是 > > 。 5. 某種儲蓄的月利率為0.15%，現存入1000元，則本息和y（元）與所存月數x之間的函數關(guān)系式是 。
6.已知一次函數y=-x-(a-2)，當a_____時(shí)，函數的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方。 7.寫(xiě)出同時(shí)具備下列兩個(gè)條件的一次函數表達式（寫(xiě)出一個(gè)即可） 。
（1）y隨著(zhù)x的增大而減小。 （2）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,-3） 8.某商店出售一種瓜子，其售價(jià)y（元）與瓜子質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如下表 質(zhì)量x（千克） 1 2 3 4 …… 售價(jià)y（元） 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 …… 由上表得y與x之間的關(guān)系式是 。
9.某人用充值50元的IC卡從A地向B地打長(cháng)途電話(huà)，按通話(huà)時(shí)間收費，3分鐘內收費2.4元，以后每超過(guò)1分鐘加收1元，若此人第一次通話(huà)t分鐘（3≤t≤45），則IC卡上所余的費用y（元）與t（分）之間的關(guān)系式是 。 10.過(guò)點(diǎn)P(0,4)，且與直線(xiàn)y=x-3平行的直線(xiàn)解析式為： ；將此直線(xiàn)沿y軸正方向平移2個(gè)單位后得到的直線(xiàn)解析式為： 。
*11.如圖，已知A地在B地正南方3千米處，甲乙兩人同時(shí)分別從A、B兩地向正北方向勻速直行，他們與A地的距離S（千米）與所行的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數關(guān)系圖象如圖所示的AC和BD給出，當他們行走3小時(shí)后，他們之間的距離為 千米. 二.選擇題（每題3分，共24分） 11.下列函數（1）y=πx (2)y=2x-1 (3) (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函數的有（ ） （A）4個(gè) （B）3個(gè) （C）2個(gè) （D）1個(gè) 12.已知點(diǎn)（-4,y1）,(2,y2)都在直線(xiàn)上，則y1、y2大小關(guān)系是（ ） （A）y1>y2 (B)y1=y2 (C)y10,b>0 (B)k>0,b0 (D)k 22.為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，各地采用價(jià)格調控手段達到節約用水的目的，某市規定如下用水收費標準：每戶(hù)每月的用水量不超過(guò)6立方米時(shí)，水費按每立方米a元收費，超過(guò)6立方米時(shí)，不超過(guò)的部分每立方米仍按a元收費，超過(guò)的部分每立方米按c元收費，該市某戶(hù)今年9、10月份的用水量和所交水費如下表所示： 設某戶(hù)每月用水量x（立方米），應交水費y（元） （1）求a、c的值。 （2）當x≤6,x≥6時(shí)，分別寫(xiě)出y于x的函數關(guān)系式。
（3）若該戶(hù)11月份用水量為8立方米，求該戶(hù)11月份水費是多少元？ 23.附加題 已知一次函數y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,1)及點(diǎn)N(0,2)，設該圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形？若存在，把符合條件的點(diǎn)P的坐標都求出來(lái)；若不存在，請說(shuō)明理由。
6.二次函數完整的知識點(diǎn)
定義與定義表達式 我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），稱(chēng)a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。
一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。
右邊是整式，且自變量的最高次數是2。 注意，“變量”不同于“未知數”，不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。
未知數只是一個(gè)數（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。
從函數的定義也可看出二者的差別。二次函數的解法 二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標帶入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。
方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。
解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。
對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。
如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標（y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。
設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,4ac-b^2;/4a）頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點(diǎn)坐標為（h,k）對稱(chēng)軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向。a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
a的絕對值可以決定開(kāi)口大小。a的絕對值越大開(kāi)口就越小，a的絕對值越小開(kāi)口就越大。
牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點(diǎn)式的系數a=y1/(x1·x2)(y1為截距) 求根公式二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
求根公式 x是自變量，y是x的二次函數 x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac）]/2a （即一元二次方程求根公式）（如右圖） 求根的方法還有因式分解法和配方法 二次函數與X軸交點(diǎn)的情況 當△=b^2-4ac>0時(shí)， 函數圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。 當△=b^2-4ac=0時(shí)，函數圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。
當△=b^2-4ac<0時(shí)，函數圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。編輯本段圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=ax^2+bx+c的圖像， 可以看出，二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
如果所畫(huà)圖形準確無(wú)誤，那么二次函數圖像將是由一般式平移得到的。 注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數。
2畫(huà)出對稱(chēng)軸，并注明直線(xiàn)X=什么 （X= -b/2a） 3與X軸交點(diǎn)坐標 （x1,y1）;(x2, y2)，與Y軸交點(diǎn)坐標（0,c），頂點(diǎn)坐標（-b/2a, (4ac-bx2/4a).軸對稱(chēng) 1.二次函數圖像是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = h或者x=-b/2a 對稱(chēng)軸與二次函數圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數圖像的頂點(diǎn)P。
特別地，當h=0時(shí)，二次函數圖像的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0） a,b同號，對稱(chēng)軸在y軸左側 b=0，對稱(chēng)軸是y軸 a,b異號，對稱(chēng)軸在y軸右側頂點(diǎn) 2.二次函數圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P ( h,k ) 當h=0時(shí)，P在y軸上；當k=0時(shí)，P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a開(kāi)口 3.二次項系數a決定二次函數圖像的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，二次函數圖像向上開(kāi)口；當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。 |a|越大，則二次函數圖像的開(kāi)口越小。
決定對稱(chēng)軸位置的因素 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。 當a>0，與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 因為對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0，也就是- b/2a0，與b異號時(shí)（即ab<0），對稱(chēng)軸在y軸右。
因為對稱(chēng)軸在右邊則對稱(chēng)軸要大于0，也就是- b/2a>0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡(jiǎn)單記憶為同左異右，即當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左；當a與b異號時(shí)（即ab<0 ），對稱(chēng)軸在y軸右。 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數圖像切線(xiàn)的函數解析式（一次函數）的 斜率k的值。
可通過(guò)對二次函數求導得到。決定二次函數圖像與y軸交點(diǎn)的因素 5.常數項c決定二次函數圖像與y軸交點(diǎn)。
二次函數圖像與y軸交于（0,C） 注意：頂點(diǎn)坐標為（h,k） 與y軸交于（0,C）二次函數圖。
7.二次函數的基本知識
我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），稱(chēng)a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。右邊是整式，且自變量的最高次數是2。 注意，“變量”不同于“未知數”，不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。未知數只是一個(gè)數（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別。
二次函數的解法
二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標代入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。 方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。 對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標（y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點(diǎn)式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點(diǎn)坐標為（h,k）對稱(chēng)軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：
二次函數（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向。a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a
8.初三二次函數知識點(diǎn)總結
我就講一點(diǎn)關(guān)鍵的東西吧。
a決定二次函數的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小，且a大于0，開(kāi)口向上，否則反之，a越大開(kāi)口越小
b決定二次函數的位置和對稱(chēng)軸，當-2a/b小于0，對稱(chēng)軸在x軸左側，否則反之。在此基礎上，可以推出（1）當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在x軸上（2）當拋物線(xiàn)在x軸左側，b的符號與a的符號相同，同正或同負，在右側a,b符號相反
c決定拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)（0,c），當c=0，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，當b,c都=0，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標為原點(diǎn)，其他的拋物線(xiàn)增減性畫(huà)圖觀(guān)察即可，不必死記
拋物線(xiàn)平移化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，上加下減（k），左加右減（h）
△決定與x軸交點(diǎn)個(gè)數，△大于0，拋物線(xiàn)與x軸2個(gè)不同的交點(diǎn)△=0,1個(gè)交點(diǎn)；△小于0，無(wú)交點(diǎn)
