指數(shù)函數(shù)的(指數(shù)函數(shù)全部知識總結(jié))
1.指數(shù)函數(shù)全部知識總結(jié)
指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)考查的重點，在近期的上課過程中發(fā)現(xiàn)大家對知識點掌握和題型的識別還是不太好，我再做一個總結(jié)。
1、指數(shù)和對數(shù)的運算
指數(shù)和對數(shù)的運算是學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基礎，在初中我們接觸了一些指數(shù)和對數(shù)的運算法則，但是在高中階段我們對純粹的計算要求不高，但是應用很多的，所以必須記住相應的計算法則，和一些常用的特殊值如 這樣的恒等式，對解答本部分題目用處很大，也對我們接指數(shù)對數(shù)方程和不等式用處很大。
2、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點，必須記住常見的指對數(shù)函數(shù)，
如 還有兩個特殊的
利用這些函數(shù)記住相應的函數(shù)的性質(zhì)和圖像，這部分題目考查有函數(shù)過定點，函數(shù)值得大小比較，函數(shù)的圖像變換等等
3、指數(shù)方程，對數(shù)方程及其不等式
這是我們在解題過程中常用到的，也是由函數(shù)的單調(diào)性得到的函數(shù)的一類應用問題，化成同底是解決這類問題的關鍵，方程就要注意特殊值，不等式就要注意函數(shù)的單調(diào)性，但是對于對數(shù)函數(shù)來說的話，必須注意定義域的限制！
4、指數(shù)型和對數(shù)型的復合函數(shù)
復合函數(shù)的求值，復合函數(shù)的單調(diào)性等都是考查的重點，所以必須熟悉常見的復合函數(shù)的處理方法，復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則等。對數(shù)型復合函數(shù)是考查的重點，因為涉及到定義域問題是學生最最容易出現(xiàn)的問題，所以應該明白為什么上課的時候總是在強調(diào)函數(shù)問題在處理的時候一定要定義域優(yōu)先了！
5、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關系
指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關于直線 對稱，把握住這兩點就沒有問題了，像2013年的陜西文科的最后一道題的第一問就涉及到指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)問題，其實就是所對應的對數(shù)函數(shù)而已！
總之函數(shù)的學習一定要注意歸納題型和方法，總結(jié)解題的常見思路和方法，從而慢慢的掌握解題的思路和方法，解題是一個復雜的過程，還是需要多多的練習了！
寶貝，如果有幫到您，請給予采納和好評哦，謝謝拉#^_^#祝您學習快樂。
2.指數(shù)函數(shù)全部知識總結(jié)
指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)考查的重點，在近期的上課過程中發(fā)現(xiàn)大家對知識點掌握和題型的識別還是不太好，我再做一個總結(jié)。
1、指數(shù)和對數(shù)的運算 指數(shù)和對數(shù)的運算是學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基礎，在初中我們接觸了一些指數(shù)和對數(shù)的運算法則，但是在高中階段我們對純粹的計算要求不高，但是應用很多的，所以必須記住相應的計算法則，和一些常用的特殊值如 這樣的恒等式，對解答本部分題目用處很大，也對我們接指數(shù)對數(shù)方程和不等式用處很大。2、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點，必須記住常見的指對數(shù)函數(shù)，如 還有兩個特殊的利用這些函數(shù)記住相應的函數(shù)的性質(zhì)和圖像，這部分題目考查有函數(shù)過定點，函數(shù)值得大小比較，函數(shù)的圖像變換等等3、指數(shù)方程，對數(shù)方程及其不等式這是我們在解題過程中常用到的，也是由函數(shù)的單調(diào)性得到的函數(shù)的一類應用問題，化成同底是解決這類問題的關鍵，方程就要注意特殊值，不等式就要注意函數(shù)的單調(diào)性，但是對于對數(shù)函數(shù)來說的話，必須注意定義域的限制！4、指數(shù)型和對數(shù)型的復合函數(shù)復合函數(shù)的求值，復合函數(shù)的單調(diào)性等都是考查的重點，所以必須熟悉常見的復合函數(shù)的處理方法，復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則等。
對數(shù)型復合函數(shù)是考查的重點，因為涉及到定義域問題是學生最最容易出現(xiàn)的問題，所以應該明白為什么上課的時候總是在強調(diào)函數(shù)問題在處理的時候一定要定義域優(yōu)先了！5、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關系指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關于直線 對稱，把握住這兩點就沒有問題了，像2013年的陜西文科的最后一道題的第一問就涉及到指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)問題，其實就是所對應的對數(shù)函數(shù)而已！總之函數(shù)的學習一定要注意歸納題型和方法，總結(jié)解題的常見思路和方法，從而慢慢的掌握解題的思路和方法，解題是一個復雜的過程，還是需要多多的練習了！寶貝，如果有幫到您，請給予采納和好評哦，謝謝拉#^_^#祝您學習快樂。
3.指數(shù)函數(shù)知識點
指數(shù)函數(shù)是數(shù)學中重要的函數(shù)。
應用到值 e上的這個函數(shù)寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e，這里的 e是數(shù)學常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還稱為歐拉數(shù)。
當a>1時，指數(shù)函數(shù)對于 x的負數(shù)值非常平坦，對于 x的正數(shù)值迅速攀升，在 x等于 0 的時候等于 1。當0 作為實數(shù)變量 x的函數(shù)，y=e^x 的圖像總是正的（在 x軸之上）并遞增（從左向右看）。
它永不觸及 x軸，盡管它可以任意程度的靠近它（所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數(shù)是自然對數(shù)ln(x)，它定義在所有正數(shù) x上。
有時，尤其是在科學中，術語指數(shù)函數(shù)更一般性的用于形如 kax 的 指數(shù)函數(shù)函數(shù)，這里的 a 叫做“底數(shù)”，是不等于 1 的任何正實數(shù)。本文最初集中于帶有底數(shù)為歐拉數(shù) e 的指數(shù)函數(shù)。
指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得 如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。 在函數(shù)y=a^x中可以看到： （1） 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮， 同時a等于0函數(shù)無意義一般也不考慮。
（2） 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。 （3） 函數(shù)圖形都是下凸的。
（4） a大于1時，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；若a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。 （5） 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過 指數(shù)函數(shù)程中（當然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。
其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。 （6） 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸，并且永不相交。
（7） 函數(shù)總是通過（0,1）這點，（若y=a^x+b，則函數(shù)定過點（0,1+b） (8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。 （9） 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。
（10）當兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。 （11）當指數(shù)函數(shù)中的自變量與因變量一一映射時，指數(shù)函數(shù)具有反函數(shù)。
編輯本段公式推導 e的定義：e=lim(x→∞)（1+1/x）^x=2.718281828。 設a>0,a!=1----(log a(x))' =lim（Δx→∞）（（log a(x+Δx)-log a(x)）/Δx) =lim（Δx→∞）（1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x)) =lim（Δx→∞）（1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx))) =1/x*lim（Δx→∞）（log a((1+Δx/x)^(x/Δx))) =1/x*log a(lim（Δx→0）(1+Δx/x)^(x/Δx)) =1/x*log a(e)特殊地， 當a=e時， （log a(x))'=(ln x)'=1/x。
設y=a^x兩邊取對數(shù)ln y=xln a兩邊對求x 導y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地， 當a=e時，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。 編輯本段函數(shù)圖像 指數(shù)函數(shù)（1）由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點（1,a）可知：在y軸右側(cè)，圖像從下到上相應的底數(shù)由小變大。
（2）由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=-1相交于點（-1,1/a）可知：在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應的底數(shù)由大變小。 （3）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。
（如右圖）》。 編輯本段冪的比較 比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數(shù)單調(diào)性法；（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。
比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意： （1）對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷。 例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大于1所以函數(shù)單調(diào)遞增（即x的值越大，對應的y值越大），因為5大于4，所以y2大于y1。
(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可 指數(shù)函數(shù)以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷。 例如：y1=1/2^4,y2=3^4，因為1/2小于1所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞減；3大于1，所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞增，在x=0是兩個函數(shù)圖像都過（0,1）然后隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1. (3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。
如： 對于三個（或三個以上）的數(shù)的大小比較，則應該先根據(jù)值的大?。ㄌ貏e是與0、1的大?。┻M行分組，再比較各組數(shù)的大小即可。 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的大?。?，就可以快速的得到答案。
那么如何判斷一個冪與“1”大小呢？由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知“同大異小”。即當?shù)讛?shù)a和1與指數(shù)x與0之間的不等號同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）時，a^x大于1，異向時a^x小于1. 〈3〉例：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說明理由. ⑴y=4^x 因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù)； ⑵y=(1/4)^x 因為0編輯本段定義域 指代一切實數(shù)（-∞，+∞），就是R。
編輯本段值域 對于一切指數(shù)函數(shù)y=a^x來講。他的a滿足a>0且a≠1，即說明y>0。
所以值域為（0，+∞）。a=1時也可以，此時值域恒為1。
編輯本段化簡技巧 （1）把分子、分母分解因式，可約分的先約分 （2）利用公式的基本性質(zhì)，化繁分式為簡分式，化異分母為同分母 （3。
4.高一數(shù)學必修一指數(shù)函數(shù)全部知識點
二、函數(shù)的有關概念1.函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作： y=f(x),x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.注意：1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：（1）分式的分母不等于零； （2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零；（3）對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；（4）指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零， （7）實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.? 相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關）；②定義域一致 （兩點必須同時具備）（見課本21頁相關例2）2.值域 ： 先考慮其定義域（1）觀察法 （2）配方法（3）代換法3. 函數(shù)圖象知識歸納（1）定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標（x,y）均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點（x,y），均在C上 . （2） 畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1） 平移變換2） 伸縮變換3） 對稱變換4.區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B6.分段函數(shù) （1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。
（2）各部分的自變量的取值情況.（3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復合函數(shù)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A)，則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數(shù)。二.函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性（局部性質(zhì)）（1）增函數(shù)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2） 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.（3）.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法（A） 定義法：○1 任取x1,x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)-f(x2)；○3 變形（通常是因式分解和配方）；○4 定號（即判斷差f(x1)-f(x2)的正負）；○5 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.（B）圖象法（從圖象上看升降）（C）復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 8.函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).（2）.奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；○2確定f(-x)與f(x)的關系；○3作出相應結(jié)論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù).（2）由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定； （3）利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .9、函數(shù)的解析表達式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1） 湊配法2） 待定系數(shù)法3） 換元法4） 消參法10.函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p36頁）○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值○2 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲怠? 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：1.求下列函數(shù)的定義域：⑴ ⑵ 2.設函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域為_ _ 3.若函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域是 4.函數(shù) ，若 ，則 = 6.已知函數(shù) ，求函數(shù) ， 的解析式7.已知函數(shù) 滿足 ，則 = 。
8.設 是R上的奇函數(shù)，且當 時， ，則當 時 = 在R上的解析式為 9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴ （2） 10.判斷函數(shù) 的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11.設函數(shù) 判。
5.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)
原發(fā)布者：逍遙無謹
指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)天津市塘沽一中闞學雯運用新課標的理念，從以下幾個方面加以說明：教材分析教學目標分析教法學法分析教學過程分析一、教材分析?教材的地位和作用函數(shù)是高中數(shù)學學習的重點和難點，函數(shù)的思想貫穿于整個高中數(shù)學之中。本節(jié)課是學生在已掌握了函數(shù)的一般性質(zhì)和簡單的指數(shù)運算的基礎上，進一步研究指數(shù)函數(shù)，以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。它一方面可以進一步深化學生對函數(shù)概念的理解與認識，使學生得到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，同時也為今后進一步熟悉函數(shù)的性質(zhì)和作用，研究對數(shù)函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)打下堅實的基礎。因此，本節(jié)課的內(nèi)容十分重要，它對知識起到了承上啟下的作用。教材分析?重難點分析?教學重點：指數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其簡單運用?教學難點：指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，及指數(shù)函數(shù)圖像與底的關系。教材分析?課前準備通過課前思考題讓n-3-2-10123問題引領學生自覺地投入對新知識的探究2n之中。3n1.若n∈R時，an總有n1意義，求α的范圍？2.計算并完成以下表格，2n1觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了3什么規(guī)律？二、教學目標分析?知識目標（直接性目標）：理解指數(shù)函數(shù)的定義，掌握指數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其簡單應用?能力目標（發(fā)展性目標）：通過教學培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納等思維能力，體會數(shù)形結(jié)合和分類討論思想以及從特殊到
6.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這方面的知識完全不懂
這本來就是個抽象的東西
建議不要一味的試圖去想完全理解是什么意思
先強制性死記概念，規(guī)定lnx就是自然對數(shù)，它是以e=2.71828.。。lnx=lgx/lge
你如果非要問為什么，那就相當于問：我為什么叫？？？
由指數(shù)函數(shù)定義/公式和冪函數(shù)定義/公式：
指數(shù)函數(shù)y=a^x
冪函數(shù)y=x^a
根本區(qū)別就在于自變量的不同，因此也會涉及到許多各自的特點。
因為要討論它們的性質(zhì)時，必須具有普遍性，所以就沒有把常數(shù)a指定為一個具體的數(shù)字，你可以在理解其性質(zhì)時，把具有代表性的常數(shù)寫上去，一個一個的去理解，這不失為一種解決你問題的一個好的辦法。
下面粘貼過來關于冪函數(shù)性質(zhì)的一個總結(jié)，其他的你可以在站內(nèi)搜索，一定可以找到很多答案。
冪函數(shù)的一般形式為y=x^a。
如果a取非零的有理數(shù)是比較容易理解的，不過初學者對于a取無理數(shù)，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數(shù)為無理數(shù)的問題，因為這涉及到實數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識。因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。
對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分數(shù)（即p、q互質(zhì)），q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞）。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）.因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數(shù)；
排除了為0這種可能，即對于x<0或x>0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。
總結(jié)起來，就可以得到當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；
如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。
在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，
必須指出的是，當x<0時，冪函數(shù)存在一個相當棘手的內(nèi)在矛盾：[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)這三者相等嗎？若p/q是ac/bd的既約分數(shù)，x^(ac/bd)與x^(p/q)以及x^(kp/kq)(k為正整數(shù))又能相等嗎？也就是說，在x<0時，冪函數(shù)值的唯一性與冪指數(shù)的運算法則發(fā)生不可調(diào)和的沖突。對此，現(xiàn)在有兩種觀點：一種堅持通過約定既約分數(shù)來處理這一矛盾，能很好解決冪函數(shù)值的唯一性問題，但米指數(shù)的運算法則較難維系；另一種觀點則認為，直接取消x<0這種情況，即規(guī)定冪函數(shù)的定義域為[0，+∞）或（0，+∞）。看來這一問題有待專家學者們認真討論后予以解決。
因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過（1,1）這點.（a≠0）
(2)當a大于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當a大于1時，冪函數(shù)圖形下凸；當a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)顯然冪函數(shù)無界限。
(6) a=0，該函數(shù)為偶函數(shù) {x|x≠0}
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