第一張數(shù)學(xué)學(xué)科(初一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章知識(shí)整理)
1.初一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章知識(shí)整理
第一章 整式的運(yùn)算 一. 整式 ※1. 單項(xiàng)式 ①由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。
單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。 ②單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)，作為單項(xiàng)式的系數(shù)，必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號(hào)，如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積，并非沒有系數(shù). ③一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù). ※2.多項(xiàng)式 ①幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù). ②單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù)，含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù)，多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù).多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式，一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù).多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有它們各自的次數(shù)，但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)只有一個(gè)，它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次數(shù). ※3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式. 二. 整式的加減 ¤1. 整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后，合并同類項(xiàng)，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式. ¤2. 括號(hào)前面是“-”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí)，這個(gè)數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘. 三. 同底數(shù)冪的乘法 ※同底數(shù)冪的乘法法則： （m,n都是正數(shù)）是冪的運(yùn)算中最基本的法則，在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： ①法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)字式字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式； ②指數(shù)是1時(shí)，不要誤以為沒有指數(shù)； ③不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對(duì)乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而對(duì)于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加； ④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，法則可推廣為 （其中m、n、p均為正數(shù)）； ⑤公式還可以逆用： （m、n均為正整數(shù)） 四.冪的乘方與積的乘方 ※1. 冪的乘方法則： （m,n都是正數(shù)）是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的，但兩者不能混淆. ※2. . ※3. 底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí)，運(yùn)算時(shí)要注意，底數(shù)是a與（-a）時(shí)不是同底，但可以利用乘方法則化成同底， 如將（-a）3化成-a3 ※4.底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。
※5.要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn(a、b均不為零)。 ※6.積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即 （n為正整數(shù)）。
※7.冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。 五. 同底數(shù)冪的除法 ※1. 同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即 （a≠0,m、n都是正數(shù)，且m>n）. ※2. 在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)： ①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù)，所以法則中a≠0. ②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1，即 ，如 ，（-2.50=1），則00無意義. ③任何不等于0的數(shù)的-p次冪（p是正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的p的次冪的倒數(shù)，即 （ a≠0,p是正整數(shù)）， 而0-1,0-3都是無意義的；當(dāng)a>0時(shí)，a-p的值一定是正的； 當(dāng)a<0時(shí)，a-p的值可能是正也可能是負(fù)的，如 ， ④運(yùn)算要注意運(yùn)算順序. 六. 整式的乘法 ※1. 單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： ①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆； ②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則； ③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式； ④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用； ⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。
※2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： ①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同； ②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面。
2.初一數(shù)學(xué)第一章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù) 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，通常寫作 a/b，這里 b 不為零。
分?jǐn)?shù)是有理數(shù)的通常表達(dá)方法，而整數(shù)是分母為1的分?jǐn)?shù)，當(dāng)然亦是有理數(shù)。 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個(gè)整數(shù) a 和一個(gè)非零整數(shù) b 的比（ratio），通常寫作 a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。
希臘文稱為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”（rational number），但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)遂稱為無理數(shù)。
所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或?yàn)檠h(huán)。 理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。
如圓周率、2的平方根等。 實(shí)數(shù)（real munber）分為有理數(shù)和無理數(shù)（irrational number）。
·無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別： 1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)， 比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)， 比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn)，人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù). 2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能。根據(jù)這一點(diǎn)，有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子，把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”，把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。
本來嘛，無理數(shù)并不是不講道理，只是人們最初對(duì)它不太了解罷了。 利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別，可以證明√2是無理數(shù)。
證明：假設(shè)√2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。 既然√2是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式： 實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。
其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù) 自然數(shù)（natural number） 用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) 。 即用數(shù)碼0,1,2,3,4，……所表示的數(shù) 。
自然數(shù)由0開始 ， 一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮集合。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。
自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。 序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。
他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個(gè)元素，記作1。
②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。③ 1是0的后繼者。
④0不是任何元素的后繼者。 ⑤不同元素有不同的后繼者。
⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。
這樣 ，所有單元素集{x},{y},{a},等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。
自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。 自然數(shù)在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數(shù)。
“0”是否包括在自然數(shù)之內(nèi)存在爭(zhēng)議，有人認(rèn)為自然數(shù)為正整數(shù)，即從1開始算起；而也有人認(rèn)為自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，即從0開始算起。目前關(guān)于這個(gè)問題尚無一致意見。
不過，在數(shù)論中，多采用前者；在集合論中，則多采用后者。目前，我國(guó)中小學(xué)教材將0歸為自然數(shù)！ 自然數(shù)是整數(shù)，但整數(shù)不全是自然數(shù)。
例如：-1 -2 -3。
是整數(shù) 而不是自然數(shù) 全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 所謂質(zhì)數(shù)或稱素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，除了本身和 1 以外并沒有任何其他因子。例如 2,3,5,7 是質(zhì)數(shù)，而 4,6,8,9 則不是，后者稱為合成數(shù)或合數(shù)。
從這個(gè)觀點(diǎn)可將整數(shù)分為兩種，一種叫質(zhì)數(shù)，一種叫合成數(shù)。（有人認(rèn)為數(shù)目字 1 不該稱為質(zhì)數(shù)）著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個(gè)整數(shù)。
可以寫成一串質(zhì)數(shù)相乘的積。第五章： 本章重點(diǎn)：一元一次不等式的解法， 本章難點(diǎn)：了解不等式的解集和不等式組的解集的確定，正確運(yùn)用 不等式基本性質(zhì)3。
本章關(guān)鍵：徹底弄清不等式和等式的基本性質(zhì)的區(qū)別. （1）不等式概念：用不等號(hào)（“≠”、“”）表示的不 等關(guān)系的式子叫做不等式 （2）不等式的基本性質(zhì)，它是解不等式的理論依據(jù). （3）分清不等式的解集和解不等式是兩個(gè)完全不同的概念. （4）不等式的解一般有無限多個(gè)數(shù)值，把它們表示在數(shù)軸上，（5）一元一次不等式的概念、解法是本章的重點(diǎn)和核心 （6）一元一次不等式的解集，在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集 （7）由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組.一元一次不等式組可以由幾個(gè)（同未知數(shù)的）一元一次不等式組成 （8）.利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集 第六章： 1.二元一次方程，二元一次方程組以及它的解，明確二元一次方程組的解是一對(duì)未知數(shù)的值。
3.初一數(shù)學(xué)第一章復(fù)習(xí)要點(diǎn)
俊狼獵英團(tuán)隊(duì)為您解答
一個(gè)工具：數(shù)軸；
兩個(gè)符號(hào)：負(fù)號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)；
五個(gè)概念：負(fù)數(shù)、有理數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)；（倒數(shù)小學(xué)就有）
五種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方；
科學(xué)記數(shù)法、有效數(shù)字。
運(yùn)算不說， 所有概念中基本都與數(shù)軸有關(guān)：
⑴有理數(shù)都羅列在數(shù)軸上，可以用來有理數(shù)的一種分類（正數(shù)、0、負(fù)數(shù)），可看出相反數(shù)，可看出絕對(duì)值的意義，可比較大小（右邊的數(shù)比左邊的大）。
⑵倒數(shù)是小學(xué)的繼續(xù)。
⑶運(yùn)算注意計(jì)算的順序。
提供一組練習(xí)：（概念辨析方面）
有理數(shù)的分類
判斷正誤：
一個(gè)有理數(shù)非正即負(fù)。
一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
有理數(shù)指整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零這五類數(shù)
有理數(shù)是自然數(shù)和負(fù)數(shù)這兩類數(shù)的統(tǒng)稱。
①|(zhì)2|=__,|-2|=___,|0|=__
②用自然語(yǔ)言說出絕對(duì)值的意義
③用字母表示絕對(duì)值的意義
④絕對(duì)值的幾何意義
如果|x|=2，則x=__,|x|=-2,x=____
一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是（ ）
數(shù)軸上有一點(diǎn)到原點(diǎn)距離為5，這點(diǎn)表示數(shù)（ ）
絕對(duì)值等于4的數(shù)是（ ），絕對(duì)值小于3的整數(shù)是（ ）
任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，對(duì)嗎？
任何有理數(shù)的絕對(duì)值不都是正數(shù)，對(duì)嗎？
任何有理數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)，對(duì)嗎？
例題：
①若a是有理數(shù)，則-a是（ ）
是負(fù)數(shù)，B）不是負(fù)數(shù)，C）是a的相反數(shù)，D）不等于0.
②如果兩個(gè)數(shù)的差是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)（ ）
A）都是正數(shù)，B）都不是正數(shù)，C）不都是正數(shù)，D）以上都有可能。
③若ab=0，則（ ）
A)a一定是0,B)b一定是0,C)a是0或b是0,D)a、b中至少一個(gè)是0。
④若|a|+|b|=0，那么
A)a=0,B)b=0,C)a=0或b=0,D)a=0且b=0.
練習(xí)：
1、一個(gè)數(shù)a與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的___________
2、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值_________
3、一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小，則該數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，離原點(diǎn)越___________
4、-的絕對(duì)值是_________
5、絕對(duì)值最小的數(shù)是_________
6、絕對(duì)值等于5的數(shù)是___________，它們互為_____________
7、若b8、如果 | a | = -a ，那么 a ______0
9、如果 | a | = a ，那么 a ______0
10，已知 | a-2 | + |b+3 | + | c+5 | = 0,
則 a =_____,b =_______,c = _______
11、_______的倒數(shù)是它本身，_______的絕對(duì)值是它本身。
12、a+b=0，則a與b_______、
13，絕對(duì)值是2的數(shù)有_____個(gè)，它們是_____。
14、相反數(shù)等于它本身的數(shù)是________
15、-3.5的倒數(shù)是_____， 相反數(shù)是______.
17、若|b+1|=3，則b=( )
(A)2 (B)- 4 (C)2 或- 4 (D)以上答案都不對(duì)
18、下列說法不正確的是 （ ）
(A)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) （B） 1是絕對(duì)值最小的數(shù)
(C)一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù) （D）0的絕對(duì)值是0
19、絕對(duì)值小于3的所有整數(shù)的和是（ ）
(A)3 (B)-3 (C)0 (D)6
20、一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)是它本身，這個(gè)數(shù)是（ ）
(A)0 (B) 1 (C) (D)1或-1
21、若|x+2|=-a，則a 是 （ ）
A.0 B.正數(shù) C.負(fù)數(shù) D.負(fù)數(shù)或0
22.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)中， _______的數(shù)總比________的數(shù)大。
4.初一數(shù)學(xué)第一章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù) 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，通常寫作 a/b，這里 b 不為零。
分?jǐn)?shù)是有理數(shù)的通常表達(dá)方法，而整數(shù)是分母為1的分?jǐn)?shù)，當(dāng)然亦是有理數(shù)。 數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個(gè)整數(shù) a 和一個(gè)非零整數(shù) b 的比（ratio），通常寫作 a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。
希臘文稱為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”（rational number），但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)遂稱為無理數(shù)。
所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或?yàn)檠h(huán)。 理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。
如圓周率、2的平方根等。 實(shí)數(shù)（real munber）分為有理數(shù)和無理數(shù)（irrational number）。
·無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別： 1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)， 比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)， 比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn)，人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù). 2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能。根據(jù)這一點(diǎn)，有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子，把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”，把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。
本來嘛，無理數(shù)并不是不講道理，只是人們最初對(duì)它不太了解罷了。 利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別，可以證明√2是無理數(shù)。
證明：假設(shè)√2不是無理數(shù)，而是有理數(shù)。 既然√2是有理數(shù)，它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式： 實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。
其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù) 自然數(shù)（natural number） 用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) 。 即用數(shù)碼0,1,2,3,4，……所表示的數(shù) 。
自然數(shù)由0開始 ， 一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮集合。自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)，也可以作減法或除法，但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的。
自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論棗自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。 序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。
他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個(gè)元素，記作1。
②N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。③ 1是0的后繼者。
④0不是任何元素的后繼者。 ⑤不同元素有不同的后繼者。
⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。
這樣 ，所有單元素集{x},{y},{a},等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。
自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。 自然數(shù)在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數(shù)。
“0”是否包括在自然數(shù)之內(nèi)存在爭(zhēng)議，有人認(rèn)為自然數(shù)為正整數(shù)，即從1開始算起；而也有人認(rèn)為自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，即從0開始算起。目前關(guān)于這個(gè)問題尚無一致意見。
不過，在數(shù)論中，多采用前者；在集合論中，則多采用后者。目前，我國(guó)中小學(xué)教材將0歸為自然數(shù)！ 自然數(shù)是整數(shù)，但整數(shù)不全是自然數(shù)。
例如：-1 -2 -3。
是整數(shù) 而不是自然數(shù) 全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 所謂質(zhì)數(shù)或稱素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，除了本身和 1 以外并沒有任何其他因子。例如 2,3,5,7 是質(zhì)數(shù)，而 4,6,8,9 則不是，后者稱為合成數(shù)或合數(shù)。
從這個(gè)觀點(diǎn)可將整數(shù)分為兩種，一種叫質(zhì)數(shù)，一種叫合成數(shù)。（有人認(rèn)為數(shù)目字 1 不該稱為質(zhì)數(shù)）著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個(gè)整數(shù)。
可以寫成一串質(zhì)數(shù)相乘的積。第五章： 本章重點(diǎn)：一元一次不等式的解法， 本章難點(diǎn)：了解不等式的解集和不等式組的解集的確定，正確運(yùn)用 不等式基本性質(zhì)3。
本章關(guān)鍵：徹底弄清不等式和等式的基本性質(zhì)的區(qū)別. （1）不等式概念：用不等號(hào)（“≠”、“”）表示的不 等關(guān)系的式子叫做不等式 （2）不等式的基本性質(zhì)，它是解不等式的理論依據(jù). （3）分清不等式的解集和解不等式是兩個(gè)完全不同的概念. （4）不等式的解一般有無限多個(gè)數(shù)值，把它們表示在數(shù)軸上，（5）一元一次不等式的概念、解法是本章的重點(diǎn)和核心 （6）一元一次不等式的解集，在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集 （7）由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組.一元一次不等式組可以由幾個(gè)（同未知數(shù)的）一元一次不等式組成 （8）.利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集 第六章： 1.二元一次方程，二元一次方程組以及它的解，明確二元一次方程組的解是一對(duì)未知數(shù)的值。
5.高中數(shù)學(xué)都需要哪些初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)
初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)高中數(shù)學(xué)都需要。
初中數(shù)學(xué)內(nèi)容： 代數(shù)部分： 1、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)。 2、整式、分式、二次根式。
3、一元一次方程、一元二次方程、二（三）元一次方程組、二元二次方程組、分式方程、一元一次不等式。 4、函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）。
5、統(tǒng)計(jì)初步。 幾何部分： 1、線段、角。
2、相交線、平行線。 3、三角形。
4、四邊形。 5、相似形。
6、圓。 高中數(shù)學(xué)是全國(guó)高中生學(xué)習(xí)的一門學(xué)科。
包括《集合與函數(shù)》《三角函數(shù)》《不等式》《數(shù)列》《復(fù)數(shù)》《排列、組合、二項(xiàng)式定理》《立體幾何》《平面解析幾何》等部分。 高中數(shù)學(xué)知識(shí)框架： 在必修一里面主要學(xué)習(xí)了集合，包含集合的含義與表示，集合的基本關(guān)系，集合的基本運(yùn)算；在剩下的幾個(gè)章節(jié)則學(xué)習(xí)了幾個(gè)重要的基本初等函數(shù) 在必修二里面則是學(xué)習(xí)了立體幾何初步：包含簡(jiǎn)單幾何體與簡(jiǎn)單多面體的三視圖，空間圖形的位置關(guān)系。
部分規(guī)則空間幾何體的體積與表面積，第二章以數(shù)形結(jié)合的形式向大家介紹了圓和直線的性質(zhì)，理科生則深入學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系 在必修三部分是對(duì)簡(jiǎn)單的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)進(jìn)行了學(xué)習(xí)。和算法初步進(jìn)行了學(xué)習(xí)。
必修四開端又學(xué)習(xí)了另一種基本初等函數(shù)--三角函數(shù)，在高中階段主要是學(xué)習(xí)了，正弦，余弦，正切三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像及三者之間的關(guān)系。包括三角函數(shù)限，弧度制，誘導(dǎo)公式等。
第二章則是學(xué)習(xí)了平面向量這一數(shù)學(xué)工具，這一章學(xué)習(xí)了向量的表示，向量的模和單位化，數(shù)量積和簡(jiǎn)單應(yīng)用。在第三章又深入學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的半角公式，和角，差角公式，2倍角公式。
在進(jìn)一步延伸后又學(xué)習(xí)了降冪公式。 必修五第一章主要講了等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式與前N項(xiàng)和的運(yùn)算，第二章屬平面解析幾何的內(nèi)容，主要介紹了正弦，余弦定理，第三章主要學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)與概念與LP問題初步（圖解法）。
選修2-1第一章是常用邏輯用語(yǔ)，主要講述了充分條件，必要條件和“或，且，非”等邏輯量詞，在第二章節(jié)是又進(jìn)一步講述了空間解析幾何與向量代數(shù)，理科生又多學(xué)習(xí)了二面角定理。第三章則是介紹了圓錐曲線有關(guān)知識(shí)，包括橢圓，雙曲線，拋物線的定義性質(zhì)，圖像等。
選修2—2：第一章是推理與證明：介紹了歸納推理與類比推理，綜合法，分析法，反證法，和歸納法。第二章和第三章則是導(dǎo)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與運(yùn)用。
第四章介紹了簡(jiǎn)單的微積分性質(zhì)與運(yùn)用（曲邊梯形面積和與簡(jiǎn)單幾何體體積）；第五章介紹了數(shù)系的擴(kuò)充。主要介紹了復(fù)數(shù)的表示，性質(zhì)，運(yùn)算等 選修2-3：主要為理科生學(xué)習(xí)，第一章為排列與組合，主要學(xué)習(xí)了科學(xué)技術(shù)原理，排列，組合和二項(xiàng)式定理。
第二章則介紹了二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等常見的概率分布，第三章則是介紹了獨(dú)立性檢驗(yàn)與簡(jiǎn)單的線性回歸分析。
6.初中數(shù)學(xué)的所有基礎(chǔ)知識(shí)
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第一章數(shù)與式
考點(diǎn)一、概念及分類1、實(shí)數(shù)按定義分類正整數(shù)
整數(shù)零
有理數(shù)負(fù)整數(shù)實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
正無理數(shù)
無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無理數(shù)
2、實(shí)數(shù)按正負(fù)分類
正整數(shù)
正有理數(shù)
正實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)
正無理數(shù)
實(shí)數(shù)零負(fù)整數(shù)
負(fù)有理數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
負(fù)實(shí)數(shù)
負(fù)無理數(shù)
在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一本質(zhì)，歸納起來有四類：
(1)開方開不盡的數(shù)，如等；
(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如+8等；
(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等，一定要注意后面要帶省略號(hào)；
(4)某些三角函數(shù)，如sin60o等
考點(diǎn)二、數(shù)軸、倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值1、數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。對(duì)應(yīng)：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。2、倒數(shù)
如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。a的倒數(shù)為。3、相反數(shù)：如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=—b，反之亦成立。相反數(shù)等于本身的數(shù)是0，任何數(shù)都有相反數(shù)。a的相反數(shù)為-a。
4、絕對(duì)值
一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a(4.考點(diǎn)三、因式分解（1（（考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)（3如果自變量的取值范圍是反過來，解一元二次方程（1一條線段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母
7.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是學(xué)什么
設(shè)為主頁(yè) 加入收藏夾 語(yǔ)文 數(shù)學(xué) 英語(yǔ) 科學(xué) 音樂 體育 美術(shù) 品德與生活 品德與社會(huì) 信息技術(shù) 語(yǔ)文 數(shù)學(xué) 英語(yǔ) 歷史 地理 物理 音樂 體育 美術(shù) 化學(xué) 生物 日語(yǔ) 俄語(yǔ) 歷史與社會(huì) 思想品德 信息技術(shù) 語(yǔ)文 數(shù)學(xué) 英語(yǔ) 歷史 地理 物理 化學(xué) 生物 日語(yǔ) 俄語(yǔ) 音樂 體育 美術(shù) 思想政治 信息技術(shù) 教師中心 學(xué)生中心 數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) 資源下載 更新日志 高中數(shù)學(xué)論壇 當(dāng)前位置：首頁(yè)>>高中數(shù)學(xué)>>教師中心>>數(shù)學(xué)教育>>專家論壇 數(shù)學(xué)教師專業(yè)化與數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展 陳淼君等 內(nèi)容摘要： 筆者分析了專業(yè)數(shù)學(xué)教師所需要的專業(yè)知識(shí)和專業(yè)能力，總結(jié)出數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的根本途徑———只有積極研究，勤于反思，樂于交流，善于學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教師才能成為專業(yè)的數(shù)學(xué)教師。
一、問題的提出 數(shù)學(xué)是科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，在信息社會(huì)中，數(shù)學(xué)為商業(yè)、財(cái)政、健康和國(guó)防做出貢獻(xiàn)，為學(xué)生打開職業(yè)之門，使人們能夠做出充分依據(jù)的決定。我們比以往任何時(shí)候都更加需要數(shù)學(xué)的思考。
數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)重在數(shù)學(xué)教育。從新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)到問題解決，從大眾數(shù)學(xué)到各國(guó)紛紛興起的數(shù)學(xué)課程改革，人們一直在致力于更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
但“已有的學(xué)校改革運(yùn)動(dòng)忽略了明顯的一點(diǎn)，即教師知道什么和他們能做什，么對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)什么有至關(guān)重要的作用”。數(shù)學(xué)課程改革除了先進(jìn)的理念做指導(dǎo)之外，關(guān)鍵在于教師。
教師是具體的執(zhí)行者，如果教師沒有積極參與到課程改革中來，或者對(duì)新理念僅表示欣賞而沒付出實(shí)際行動(dòng)的話，改革只會(huì)是一個(gè)美麗的光環(huán)。所以說建設(shè)一只高素質(zhì)的數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍是數(shù)學(xué)教育改革的關(guān)鍵，是振興數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才的關(guān)鍵。
而數(shù)學(xué)教師專業(yè)化是各國(guó)數(shù)學(xué)教師發(fā)展的共同趨勢(shì)。1980年以“教師專業(yè)發(fā)展”為主題的《世界教育年鑒》指出：“教師專業(yè)化有兩個(gè)目標(biāo)，一是把教師視社會(huì)分層中的一個(gè)階層，因此，教師專業(yè)化的目標(biāo)在于爭(zhēng)取專業(yè)的地位和權(quán)利，力求集體向上流動(dòng)。
第二個(gè)目標(biāo)是教師提高教學(xué)水平及擴(kuò)張個(gè)人知識(shí)和技能的發(fā)展方向”從第二個(gè)目標(biāo)來講數(shù)學(xué)教師專業(yè)化可以看成是數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展。對(duì)于這方面已有多篇文章進(jìn)行了研討，但較多的是集中于高師的教學(xué)改革。
但“總體上數(shù)學(xué)教師（無論年輕的或是年長(zhǎng)的）都認(rèn)為他們的職前培訓(xùn)在他們的教學(xué)，知識(shí)方面都不是最重要的來源，他們的教學(xué)知識(shí)主要是來自自己的工作經(jīng)驗(yàn)或反思，以及他們和同事的日常交流”。這既說明了高師改革的重要性更說明了我們應(yīng)該更加注意教師職后的專業(yè)發(fā)展。
另外，一種職業(yè)的專業(yè)化既是一種認(rèn)識(shí)更是一種奮斗的過程，即是一種職業(yè)資格的認(rèn)定，更是一個(gè)終生學(xué)習(xí)，不斷更新的自覺追求。從這個(gè)方面講我們更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)教師職后的專業(yè)發(fā)展。
二、數(shù)學(xué)教師的專業(yè)知識(shí)和專業(yè)能力 顯然數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展首先要確定的是作為一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)教師需要哪些知識(shí)和能力？ 在1992年舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，拉潘和西勒—盧賓斯基強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教師至少需要數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)、學(xué)生這三種知識(shí)才能有效地進(jìn)行教學(xué)，并指出“數(shù)學(xué)教師是在這些知識(shí)的領(lǐng)域的交集上進(jìn)行工作的，正是不同方面的思考的相互作用讓教師形成了言之有據(jù)的教學(xué)上的推理”。在數(shù)學(xué)教育在一定程度上成為一門相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科和已有相當(dāng)一部分人從事數(shù)學(xué)教育研究的今天，我們認(rèn)為有必要對(duì)三個(gè)知識(shí)的交集部分作更加清楚的論述。
具體來說我們認(rèn)為一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)教師至少要擁有下列知識(shí)。 1 數(shù)學(xué)教育哲學(xué)。
與人生觀、世界觀對(duì)人的重要性一樣，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)對(duì)如何進(jìn)行教學(xué)有著十分重要的影響，它包含什么是數(shù)學(xué)？ 為什么進(jìn)行數(shù)學(xué)教育？ 應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)教育？ 三個(gè)基本的問題。與具體的知識(shí)相比，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)強(qiáng)調(diào)的是元認(rèn)知的一部分，它滲透著隱含的認(rèn)識(shí)論與本體論。
2 作為學(xué)科的數(shù)學(xué)知識(shí)。一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)教師需要多少數(shù)學(xué)知識(shí)是很難回答的問題。
但顯然專業(yè)的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該需要貨源充足和組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)倉(cāng)庫(kù)，其中良好的組織比數(shù)學(xué)知識(shí)更加重要。他應(yīng)該能站在高觀點(diǎn)下審視所教的數(shù)學(xué)知識(shí)，知道它們之間本質(zhì)的聯(lián)系和來龍去脈，應(yīng)該有將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃龜?shù)學(xué)知識(shí)的能力，在不失嚴(yán)謹(jǐn)性的條件下將數(shù)學(xué)知識(shí)以最便于學(xué)生理解的形式教給學(xué)生。
張景中院士認(rèn)為，將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橛糜诮逃臄?shù)學(xué)不僅僅是教育的問題，更是數(shù)學(xué)的問題。 3 數(shù)學(xué)教育學(xué)和數(shù)學(xué)教育心理學(xué)。
數(shù)學(xué)教師掌握的不僅僅是一般的教育學(xué)和心理學(xué)而應(yīng)該是它們與數(shù)學(xué)的整合。從開始的數(shù)學(xué)教學(xué)法到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育研究，數(shù)學(xué)教育學(xué)在我國(guó)已成為一門比較成熟的學(xué)科。
而數(shù)學(xué)教育心理學(xué)則是一門較新的學(xué)科。過去我們只關(guān)心教而忽視學(xué)生學(xué)的心理，雖然總結(jié)了一些經(jīng)驗(yàn)卻因?yàn)槿狈W(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究未能上升到理論水平，而不能更好地發(fā)展運(yùn)用。
越來越多的研究表明，只有對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理有較為清晰地了解，才能使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力。 4 數(shù)學(xué)教育技術(shù)學(xué)。
將數(shù)學(xué)教育技術(shù)學(xué)單獨(dú)列為一項(xiàng)，是因?yàn)橐郧暗难芯空吆苌偬岬浇處煹募夹g(shù)知識(shí)，更為重要的是興起的信息技術(shù)已經(jīng)直接影響到教什么和怎樣教的問題。而根據(jù)我國(guó)數(shù)學(xué)教師的調(diào)查，只有27. 2%的教師經(jīng)常使用計(jì)算機(jī)輔助教。
8.數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（Fundamental Mathematics）即研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，回答“數(shù)學(xué)是什么？”，“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么？”，“數(shù)學(xué)是否和諧？”等等一些數(shù)學(xué)上的根本問題的學(xué)科。
從直覺主義、邏輯主義和形式主義的相同與不同，可以追溯到近代康德對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。
康德認(rèn)為算術(shù)來自先驗(yàn)主體對(duì)時(shí)間純形式的直觀，幾何則是對(duì)空間純形式的直觀。
這實(shí)質(zhì)上是一種由主觀而客觀的思路。
康德的思想后來又在胡塞爾那里得到繼承和發(fā)展。
胡塞爾就是從考慮“數(shù)在哪里”的問題提出現(xiàn)象學(xué)還原方法的
（正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）、一元二次方程、平面幾何、三角函數(shù)
因式分解，集合，邏輯
