三角函數(shù)歐拉公式？
復(fù)變函數(shù)中，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐拉公式，e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。
拓?fù)鋵W(xué)中，在任何一個(gè)規(guī)則球面地圖上，用 R記區(qū)域個(gè) 數(shù) ，V記頂點(diǎn)個(gè)數(shù) ，E記邊界個(gè)數(shù) ，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先給出證明 ，后來 Euler(歐拉 )于 1752年又獨(dú)立地給出證明 ，我們稱其為歐拉定理 ，在國外也有人稱其 為 Descartes定理。
R+ V- E= 2就是歐拉公式。
擴(kuò)展資料
它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”
歐拉公式具體是什么？
歐拉公式具體分好多種：
（1）分式里的歐拉公式：
a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b)
當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0 當(dāng)r=2時(shí)值為1
當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c
（2）復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的證明：
因?yàn)閑^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：其中＂〒＂表示＂減加＂）
e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ+1=0. 這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的歐拉公式：
設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr
（4）拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。
如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無論再怎么經(jīng)過拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。
在多面體中的運(yùn)用:
簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系
V+F-E=2
這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。
（5）初等數(shù)論里的歐拉公式：
歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)。n是一個(gè)正整數(shù)。
歐拉證明了下面這個(gè)式子：
如果n的標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素?cái)?shù)，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。
(6) 立體圖形里的歐拉公式：
面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)—2=棱數(shù)
