多面體歐拉定理的內(nèi)容是什么，怎么推導(dǎo)出來的？

歐拉公式簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系V+F-E=2這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。歐拉定理的意義（1）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律（2）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。（3）引入拓?fù)鋵W(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。定理引導(dǎo)我們進(jìn)入一個(gè)新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。（4）提出多面體分類方法：在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個(gè)洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€(gè)球面，而能變?yōu)橐粋€(gè)環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f (p)=16+16-32=0，即帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0。歐拉定理的證明方法1：（利用幾何畫板）逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。去掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)V與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1（1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍?。?）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個(gè)面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運(yùn)用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。　方法2：計(jì)算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開圖）,求所有面內(nèi)角總和Σα一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。 設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ?1800=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 （1）另一方面，在拉開圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和。設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)?1800，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V-n)?3600，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n-2)?1800。所以，多面體各面的內(nèi)角總和：Σα=(V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800 =（V-2）?3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ?3600 =（V-2）?3600 所以 V+F-E=2. 歐拉定理的運(yùn)用方法（1）分式： a＾r(nóng)/(a-b)(a-c)+b＾r(nóng)/(b-c)(b-a)+c＾r(nóng)/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0 當(dāng)r=2時(shí)值為1 當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c （2）復(fù)數(shù) 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設(shè)v為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則 v-e+f=2-2pp為歐拉示性數(shù)，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形設(shè)一個(gè)二維幾何圖形的頂點(diǎn)數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：V+Ar-B=1(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 歐拉定理在同一個(gè)三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點(diǎn)圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。其實(shí)歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個(gè)常用的。使用歐拉定理計(jì)算足球五邊形和六邊形數(shù)問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計(jì)算一共有多少個(gè)這樣的五邊型和六邊型？答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個(gè)和y個(gè)，那么面數(shù)F＝x＋y棱數(shù)E＝(5x+6y)/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）頂點(diǎn)數(shù)V＝(5x+6y)/3（每個(gè)頂點(diǎn)由三塊皮子共用）由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12所以共有12塊黑皮子所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20所以共有20塊白皮子 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“歐拉定理”在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)里，產(chǎn)量和生產(chǎn)要素L、K的關(guān)系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數(shù)形式是一次齊次的，那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，換句話說，產(chǎn)品分配凈盡取決于Q能否表示為一個(gè)一次齊次函數(shù)形式。 因?yàn)閑Q/eL＝MPL＝w/P被視為勞動(dòng)對產(chǎn)量的貢獻(xiàn)，eQ/eK＝MPK＝r/P被視為資本對產(chǎn)量的貢獻(xiàn)，因此，此式被解釋為“產(chǎn)品分配凈盡定理”，也就是所有產(chǎn)品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩余。因?yàn)樾问缴戏蠑?shù)學(xué)歐拉定理，所以稱為歐拉定理?！就嗬碚撝械臍W拉定理】設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的簡系個(gè)數(shù))歐拉公式在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支之中。 1、復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。2、拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個(gè)球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓?fù)洳蛔兞?，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。3、初等數(shù)論里的歐拉公式：歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)。n是一個(gè)正整數(shù)。歐拉證明了下面這個(gè)式子：如果n的標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素?cái)?shù)，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以證明它。