不定積分的計算方法(求不定積分,一共三種方法)

1.求不定積分,一共三種方法

1、第二類(lèi)換元積分法

令t=√（x-1），則x=t^2+1,dx=2tdt

原式=∫（t^2+1）/t*2tdt

=2∫（t^2+1）dt

=(2/3)*t^3+2t+C

=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√（x-1）+C，其中C是任意常數

2、第一類(lèi)換元積分法

原式=∫（x-1+1）/√（x-1）dx

=∫[√（x-1）+1/√（x-1）]d(x-1)

=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√（x-1）+C，其中C是任意常數

3、分部積分法

原式=∫2xd[√（x-1）]

=2x√（x-1）-∫2√（x-1）dx

=2x√（x-1）-(4/3)*(x-1)^(3/2)+C，其中C是你任意常數

2.常用不定積分公式

不定積分公式為：

在微積分中，一個(gè)函數f 的不定積分，或原函數，或反導數，是一個(gè)導數等于f 的函數 F ，即F ′ = f。不定積分和定積分間的關(guān)系由微積分基本定理確定，其中F是f的不定積分。

根據牛頓-萊布尼茨公式，許多函數的定積分的計算就可以簡(jiǎn)便地通過(guò)求不定積分來(lái)進(jìn)行。這里要注意不定積分與定積分之間的關(guān)系：定積分是一個(gè)數，而不定積分是一個(gè)表達式，它們僅僅是數學(xué)上有一個(gè)計算關(guān)系。

一個(gè)函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒(méi)有不定積分。連續函數，一定存在定積分和不定積分。

擴展資料：

積分發(fā)展的動(dòng)力源自實(shí)際應用中的需求。實(shí)際操作中，有時(shí)候可以用粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著(zhù)科技的發(fā)展，很多時(shí)候需要知道精確的數值。

要求簡(jiǎn)單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個(gè)長(cháng)方體狀的游泳池的容積可以用長(cháng)*寬*高求出。

但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來(lái)求出容積。物理學(xué)中，常常需要知道一個(gè)物理量（比如位移）對另一個(gè)物理量（比如力）的累積效果，這時(shí)也需要用到積分。

3.求不定積分的幾種運算方法

一、積分公式法

直接利用積分公式求出不定積分。

二、換元積分法

換元積分法可分為第一類(lèi)換元法與第二類(lèi)換元法。

1、第一類(lèi)換元法（即湊微分法）

通過(guò)湊微分，最后依托于某個(gè)積分公式。進(jìn)而求得原不定積分。

2、注：第二類(lèi)換元法的變換式必須可逆，并且在相應區間上是單調的。

第二類(lèi)換元法經(jīng)常用于消去被積函數中的根式。當被積函數是次數很高的二項式的時(shí)候，為了避免繁瑣的展開(kāi)式，有時(shí)也可以使用第二類(lèi)換元法求解。常用的換元手段有兩種：

(1) 根式代換法，

(2) 三角代換法。

在實(shí)際應用中，代換法最常見(jiàn)的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說(shuō)的換元。

三、分部積分法

設函數和u,v具有連續導數，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu，兩邊積分，得分部積分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。

稱(chēng)公式⑴為分部積分公式。如果積分∫vdu易于求出，則左端積分式隨之得到。

分部積分公式運用成敗的關(guān)鍵是恰當地選擇u,v。

擴展資料：

牛頓-萊布尼茨公式：

定積分與不定積分看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。這個(gè)重要理論就是牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：

如果f(x)是[a,b]上的連續函數，并且有F′（x）=f(x)，那么

即一個(gè)定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。

這個(gè)理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系。因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱(chēng)作微積分基本定理。

參考資料來(lái)源：百度百科-不定積分

4.常用不定積分公式

不定積分公式為： 在微積分中，一個(gè)函數f 的不定積分，或原函數，或反導數，是一個(gè)導數等于f 的函數 F ，即F ′ = f。

不定積分和定積分間的關(guān)系由微積分基本定理確定，其中F是f的不定積分。 根據牛頓-萊布尼茨公式，許多函數的定積分的計算就可以簡(jiǎn)便地通過(guò)求不定積分來(lái)進(jìn)行。

這里要注意不定積分與定積分之間的關(guān)系：定積分是一個(gè)數，而不定積分是一個(gè)表達式，它們僅僅是數學(xué)上有一個(gè)計算關(guān)系。 一個(gè)函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒(méi)有不定積分。

連續函數，一定存在定積分和不定積分。 擴展資料：積分發(fā)展的動(dòng)力源自實(shí)際應用中的需求。

實(shí)際操作中，有時(shí)候可以用粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著(zhù)科技的發(fā)展，很多時(shí)候需要知道精確的數值。 要求簡(jiǎn)單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。

比如一個(gè)長(cháng)方體狀的游泳池的容積可以用長(cháng)*寬*高求出。 但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來(lái)求出容積。

物理學(xué)中，常常需要知道一個(gè)物理量（比如位移）對另一個(gè)物理量（比如力）的累積效果，這時(shí)也需要用到積分。

5.不定積分的公式有哪些 最好比較全

原發(fā)布者：xhj1017

常見(jiàn)不定積分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4））∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2） dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√（a^2-x^2） dx=arcsin(x/a)+c 16）∫sec^2xdx=tanx+c; 17）∫shxdx=chx+c; 18）∫chxdx=shx+c; 19）∫thxdx=ln(chx)+c;1.∫adx=ax+C(a為常數)2.∫sin(x)dx=-cos(x)+C3.∫cos(x)dx=sin(x)+C4.∫tan(x)dx=-loge|cos(x)|+C=loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx=loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx=loge|sec(x)+tan(x)|+C7.∫sin2(x)dx8.9.∫cos2(x)dx10.11.∫tan2(x)dx=tan(x)-x+C12.∫cot2(x)dx=-cot(x)-x+C13.∫sin(ax)sin(bx)dx14.∫sin(ax)cos(bx)dx15.∫cos(ax)cos(bx)dx16.∫xsin(x)dx=sin(x)-xcos(x)+C17.∫xcos(x)dx=cos(x)+xsin(x)+C18.∫x2sin(x)dx=(2-x2)cos(x)+2xsin(x)+C19.∫x2cos(x)dx=(x2-2)sin(x)+2xcos(x)+C20.∫exdx=ex+C21.

6.不定積分公式

不定積分公式：∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數不定積分的過(guò)程叫做對這個(gè)函數進(jìn)行積分。

不定積分的積分公式主要有如下幾類(lèi)：

含ax+b的積分、含√（a+bx）的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√（a2+x^2） (a>0)的積分、含有√（a^2-x^2） (a>0)的積分、含有√（|a|x^2+bx+c） (a≠0)的積分。

含有三角函數的積分、含有反三角函數的積分、含有指數函數的積分、含有對數函數的積分、含有雙曲函數的積分。

擴展資料：

積分性質(zhì)

1、線(xiàn)性性

積分是線(xiàn)性的。如果一個(gè)函數f 可積，那么它乘以一個(gè)常數后仍然可積。如果函數f和g可積，那么它們的和與差也可積。

2、保號性

如果一個(gè)函數f在某個(gè)區間上黎曼可積，并且在此區間上大于等于零。那么它在這個(gè)區間上的積分也大于等于零。如果f勒貝格可積并且幾乎總是大于等于零，那么它的勒貝格積分也大于等于零。

函數的積分表示了函數在某個(gè)區域上的整體性質(zhì)，改變函數某點(diǎn)的取值不會(huì )改變它的積分值。對于黎曼可積的函數，改變有限個(gè)點(diǎn)的取值，其積分不變。

參考資料來(lái)源：搜狗百科—積分公式

7.不定積分有哪些常用公式

1）∫0dx=c 不定積分的定義

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2） dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本積分公式

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√（a^2-x^2） dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

16） ∫sec^2 x dx=tanx+c;

17） ∫shx dx=chx+c;

18） ∫chx dx=shx+c;

19） ∫thx dx=ln(chx)+c;