有關(guān)微積分的(請問(wèn)微積分的)
1.請問(wèn)微積分的基礎知識
什么是微積分？它是一種數學(xué)思想，‘無(wú)限細分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。
無(wú)限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動(dòng)的思想看待問(wèn)題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念 如果將整個(gè)數學(xué)比作一棵大樹(shù)，那么初等數學(xué)是樹(shù)的根，名目繁多的數學(xué)分支是樹(shù)枝，而樹(shù)干的主要部分就是微積分。
微積分堪稱(chēng)是人類(lèi)智慧最偉大的成就之一。從17世紀開(kāi)始，隨著(zhù)社會(huì )的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學(xué)也開(kāi)始研究變化著(zhù)的量，數學(xué)進(jìn)入了“變量數學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門(mén)學(xué)科。
整個(gè)17世紀有數十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng )立做了開(kāi)創(chuàng )性的研究，但使微積分成為數學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。 從微積分成為一門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
公元前3世紀，古希臘的數學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—前212）的著(zhù)作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線(xiàn)下的弓形面積、球和球冠面積、螺線(xiàn)下的面積和旋轉雙曲線(xiàn)的體積的問(wèn)題中就隱含著(zhù)近代積分的思想。作為微積分的基礎極限理論來(lái)說(shuō)，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著(zhù)的《莊子》一書(shū)中的“天下篇”中，著(zhù)有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。
三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書(shū)中，就把曲線(xiàn)看成邊數無(wú)限增大的直線(xiàn)形。
圓的面積就是無(wú)窮多個(gè)三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》，就把曲線(xiàn)看成無(wú)限多條線(xiàn)段（不可分量）拼成的。
這些都為后來(lái)的微積分的誕生作了思想準備。 17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，不但已有的數學(xué)成果得到進(jìn)一步鞏固、充實(shí)和擴大，而且由于實(shí)踐的需要，開(kāi)始研究運動(dòng)著(zhù)的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著(zhù)的量的一般性和它們之間的依賴(lài)關(guān)系。
到了17世紀下半葉，在前人創(chuàng )造性研究的基礎上，英國大數學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的，他為了解決運動(dòng)問(wèn)題，創(chuàng )立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數學(xué)理論，即牛頓稱(chēng)之為“流數術(shù)”的理論，這實(shí)際上就是微積分理論。牛頓的有關(guān)“流數術(shù)”的主要著(zhù)作是《求曲邊形面積》、《運用無(wú)窮多項方程的計算法》和《流數術(shù)和無(wú)窮極數》。
這些概念是力學(xué)概念的數學(xué)反映。牛頓認為任何運動(dòng)存在于空間，依賴(lài)于時(shí)間，因而他把時(shí)間作為自變量，把和時(shí)間有關(guān)的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線(xiàn)、角、體，都看作力學(xué)位移的結果。
因而，一切變量都是流量。 牛頓指出，“流數術(shù)”基本上包括三類(lèi)問(wèn)題。
（l）“已知流量之間的關(guān)系，求它們的流數的關(guān)系”，這相當于微分學(xué)。 （2）已知表示流數之間的關(guān)系的方程，求相應的流量間的關(guān)系。
這相當于積分學(xué)，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數，還包括解微分方程。 （3）“流數術(shù)”應用范圍包括計算曲線(xiàn)的極大值、極小值、求曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲率，求曲線(xiàn)長(cháng)度及計算曲邊形面積等。
牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類(lèi)問(wèn)題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系。 牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數術(shù)”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。
萊布尼茨使微積分更加簡(jiǎn)潔和準確 而德國數學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz 1646-1716）則是從幾何方面獨立發(fā)現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學(xué)家研究過(guò)，他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開(kāi)創(chuàng )性貢獻。但是池們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。
萊布尼茨創(chuàng )立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經(jīng)過(guò)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲線(xiàn)包圍的面積，運用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運算法則的。
牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動(dòng)學(xué)，造詣較萊布尼茨高一籌，但萊布尼茨的表達形式采用數學(xué)符號卻又遠遠優(yōu)于牛頓一籌，既簡(jiǎn)潔又準確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強有力地促進(jìn)了高等數學(xué)的發(fā)展。 萊布尼茨創(chuàng )造的微積分符號，正像印度——阿拉伯數碼促進(jìn)了算術(shù)與代數發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展，萊布尼茨是數學(xué)史上最杰出的符號創(chuàng )造者之一。
牛頓當時(shí)采用的微分和積分符號現在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節省思維勞動(dòng)，運用符號的技巧是數學(xué)成功的關(guān)鍵之一。
2.微積分的知識
第二講 微積分基本公式教學(xué)目的：掌握微積分基本公式和變上限積分的性質(zhì) 難 點(diǎn)：變上限積分的性質(zhì)與應用重 點(diǎn)：牛頓----萊布尼茲公式由上一節可以看到，盡管定積分可以用“和式極限”來(lái)計算，但利用定義來(lái)計算定積分一般是相當復雜和困難的，有時(shí)甚至是不可能的. 因此，我們必須尋求計算定積分的簡(jiǎn)便方法. 不難注意到下面的事實(shí)：設變速直線(xiàn)運動(dòng)的速度為 ，路程為 ，則在時(shí)間區間 內運動(dòng)的距離為 ；另一方面，由上節的分析可知，該距離應為 .由此有 （1）即： 在 上的積分等于它的一個(gè)原函數在 的增量. 這一結論是否具有普遍意義呢？下面來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題.1.變上限的積分設函數 在區間 上連續， ，則 在 上連續，故積分 存在，稱(chēng)為變上限的積分. 為避免上限與積分變量混淆，將它改記為 . 顯然，對 上任一點(diǎn) ，都有一個(gè)確定的積分值與之對應（圖5-6），所以它在 上定義了一個(gè)函數，記作 .即 . （2）函數 具有如下重要性質(zhì)： 定理1 如果 在區間 上連續，則由（2） 式定義的積分上限的函數 在 上可導，且有 . （3）證 當上限在點(diǎn) 處有增量 時(shí)， .由于 在此區間連續，由積分中值定理得 （ 介于 與 之間）.故 .當 時(shí)， . 再由 的連續性得 .推論 若函數 在區間 連續，則變上限的函數 是 在 上的一個(gè)原函數.由推論可知：連續函數必有原函數. 由此證明了上一章給出的原函數存在定理.例1 求下列函數的導數：（1） ; (2) .解 （1） .(2) .例2 設 均可導，求 的導數.解 .注 是 的復合函數，它由 ， 復合而成，求導時(shí)要用復合函數求導公式計算， 的導數計算與 完全相似. 例3 求極限 .解 此極限為 型，用洛必達法則求解，故2.牛頓-萊布尼茨公式現在我們來(lái)證明對任意連續函數與（1）式相應的結論成立.定理2 牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式 如果函數 是連續函數 在區間 上的一個(gè)原函數，則 （4）證 由于 與 均為 的原函數，由原函數的性質(zhì)知 .上式中令 ，得 ；再令 ，得 .即 .公式（4）稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式是17世紀后葉由牛頓與萊布尼茨各自獨立地提出來(lái)的，它揭示了定積分與導數的逆運算之間的關(guān)系，因而被稱(chēng)為微積分基本定理. 這個(gè)定理為定積分的計算提供了一種簡(jiǎn)便的方法. 在運用時(shí)常將公式寫(xiě)出如下形式： （5）例4 計算 .解 .例5 計算 .解 .例6 計算 .解 .例7 求 .解 由區間可加性，得. 例8 求正弦曲線(xiàn) 在 上與 軸所圍成的平面圖形（圖5-7）的面積.解 這個(gè)曲邊梯形的面積 .例9 設 .求 .解 因為定積分 是一個(gè)常數，所以，可設 =A，故 .上式兩邊在[0,1]上積分得A= ，移項后，得 ，所以 .小結：1.變上限的積分 如果 在區間 上連續，則有 .2.牛頓-萊布尼茨公式 ，其中 是 的一個(gè)原函數，而原函數可以用不定積分的方法求得.。
3.微積分知識（具體內容）
函數的和、差求導法則 函數的和差求導法則 法則：兩個(gè)可導函數的和（差）的導數等于這兩個(gè)函數的導數的和（差）. 用公式可寫(xiě)為：。
其中u、v為可導函數。 例題：已知，求 解答： 例題：已知，求 解答：函數的積商求導法則 常數與函數的積的求導法則 法則：在求一個(gè)常數與一個(gè)可導函數的乘積的導數時(shí)，常數因子可以提到求導記號外面去。
用公式可寫(xiě)成： 例題：已知，求 解答：函數的積的求導法則 法則：兩個(gè)可導函數乘積的導數等于第一個(gè)因子的導數乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導數。用公式可寫(xiě)成： 例題：已知，求 解答： 注：若是三個(gè)函數相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項。
函數的商的求導法則 法則：兩個(gè)可導函數之商的導數等于分子的導數與分母導數乘積減去分母導數與分子導數的乘積，在除以分母導數的平方。用公式可寫(xiě)成： 例題：已知，求 解答：不定積分的概念 原函數的概念 已知函數f(x)是一個(gè)定義在某區間的函數，如果存在函數F(x)，使得在該區間內的任一點(diǎn)都有 dF'(x)=f(x)dx， 則在該區間內就稱(chēng)函數F(x)為函數f(x)的原函數。
例：sinx是cosx的原函數。 關(guān)于原函數的問(wèn)題 函數f(x)滿(mǎn)足什么條件是，才保證其原函數一定存在呢？這個(gè)問(wèn)題我們以后來(lái)解決。
若其存在原函數，那末原函數一共有多少個(gè)呢？ 我們可以明顯的看出來(lái)：若函數F(x)為函數f(x)的原函數， 即：F"(x)=f(x)， 則函數族F(x)+C(C為任一個(gè)常數)中的任一個(gè)函數一定是f(x)的原函數， 故：若函數f(x)有原函數，那末其原函數為無(wú)窮多個(gè).不定積分的概念 函數f(x)的全體原函數叫做函數f(x)的不定積分， 記作。 由上面的定義我們可以知道：如果函數F(x)為函數f(x)的一個(gè)原函數，那末f(x)的不定積分就是函數族 F(x)+C. 即：=F(x)+C 例題：求：. 解答：由于，故=不定積分的性質(zhì) 1、函數的和的不定積分等于各個(gè)函數的不定積分的和； 即： 2、求不定積分時(shí)，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來(lái)， 即： 求不定積分的方法換元法 換元法（一）：設f(u)具有原函數F(u),u=g(x)可導，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數. 即有換元公式： 例題：求 解答：這個(gè)積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。
設u=2x，那末cos2x=cosu,du=2dx，因此： 換元法（二）：設x=g(t)是單調的，可導的函數，并且g'(t)≠0，又設f[g(t)]g'(t)具有原函數φ（t）， 則φ[g(x)]是f(x)的原函數.（其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數） 即有換元公式： 例題：求 解答：這個(gè)積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來(lái)?yè)Q元. 設x=asint（-π/2<t<π/2），那末，dx=acostdt，于是有： 關(guān)于換元法的問(wèn)題 不定積分的換元法是在復合函數求導法則的基礎上得來(lái)的，我們應根據具體實(shí)例來(lái)選擇所用的方法，求不定積分不象求導那樣有規則可依，因此要想熟練的求出某函數的不定積分，只有作大量的練習。分部積分法 這種方法是利用兩個(gè)函數乘積的求導法則得來(lái)的。
設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續導數.我們知道，兩個(gè)函數乘積的求導公式為： （uv）'=u'v+uv'，移項，得 uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得： ， 這就是分部積分公式 例題：求 解答：這個(gè)積分用換元法不易得出結果，我們來(lái)利用分部積分法。 設u=x,dv=cosxdx，那末du=dx,v=sinx，代入分部積分公式得： 關(guān)于分部積分法的問(wèn)題 在使用分部積分法時(shí)，應恰當的選取u和dv，否則就會(huì )南轅北轍。
選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)： （1）v要容易求得； （2）容易積出。
4.微積分相關(guān)知識
微積分公式 Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x - cot x | + C sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = - cot-1 x sec-1(-x) = - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x Dx sin-1 ()= cos-1 ()= tan-1 ()= cot-1 ()= sec-1 ()= csc-1 (x/a)= sin-1 x dx = x sin-1 x++C cos-1 x dx = x cos-1 x-+C tan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+C cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+C sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+C csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+C sinh-1 ()= ln (x+) xR cosh-1 ()=ln (x+) x≥1 tanh-1 ()=ln () |x| 1 sech-1()=ln(+)0≤x≤1 csch-1 ()=ln(+) |x| >0 Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech2 x coth x = -csch2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C csch x dx = 2 ln || + C duv = udv + vdu duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ Dx sinh-1()= cosh-1()= tanh-1()= coth-1()= sech-1()= csch-1(x/a)= sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ C cosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ C tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ →sin3θ= （3sinθ-sin3θ） →cos3θ= （3cosθ+cos3θ） sin x = cos x = sinh x = cosh x = 正弦定理：= ==2R 余弦定理： a2=b2+c2-2bc cosα b2=a2+c2-2ac cosβ c2=a2+b2-2ab cosγ sin （α±β）=sin α cos β ± cos α sin β cos （α±β）=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin （α+β） + sin （α-β） 2 cos α sin β = sin （α+β） - sin （α-β） 2 cos α cos β = cos （α-β） + cos （α+β） 2 sin α sin β = cos （α-β） - cos （α+β） sin α + sin β = 2 sin （α+β） cos （α-β） sin α - sin β = 2 cos （α+β） sin （α-β） cos α + cos β = 2 cos （α+β） cos （α-β） cos α - cos β = -2 sin （α+β） sin （α-β） tan （α±β）=， cot （α±β）= ex=1+x+++…++ … sin x = x-+-+…++ … cos x = 1-+-+++ ln (1+x) = x-+-+++ tan-1 x = x-+-+++ (1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n = n (n+1) = n (n+1)(2n+1) = [ n (n+1)]2 Γ（x） = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dt β（m, n） =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx。
5.學(xué)習微積分學(xué)需要哪些基礎知識,越詳細越好,（小學(xué)文化,零基礎）
線(xiàn)性代數：簡(jiǎn)單說(shuō)就是y=ax+b類(lèi)的函數，理解斜率a的概念。因為微積分分析是把復雜的曲線(xiàn)用線(xiàn)性的方式去理解，并求解。
三角函數：簡(jiǎn)單的sinx,cosx之類(lèi)涉及到旋轉就會(huì )用到sinx,conx之類(lèi)。sinx^2+cosx^2=1等
幾何：勾股定理等最簡(jiǎn)單最普遍的定力，不需要太深入。
然后就可以開(kāi)始學(xué)習了。上述內容涉及越深越好，不過(guò)不需要很深入基礎的理解就可以。
微積分是一種思想，一種對事物的分析方式，當然很復雜的需要很多技巧也就是需要很多數學(xué)函數等的性質(zhì)，但理解微積分思想和分析方式不需要那么高深的數學(xué)技巧以及函數性質(zhì)。
最重要的是堅持，因為微積分說(shuō)它玄不玄，說(shuō)不玄也挺玄的東西。看悟性了。
還有不要看國內的微積分書(shū)籍，可能有很好的，不過(guò)我看了幾本都想睡覺(jué)，可以這樣理解書(shū)上的是文言文“廢話(huà)多”，其實(shí)在高深的理論能做到用白話(huà)說(shuō)明才是牛B的。所以去網(wǎng)上搜索國外的教學(xué)視頻，他們都是實(shí)際的題，形象的去描述問(wèn)題。
