歐拉完美公式里面的5個數是怎么產生的？可以詳細闡述嗎？
e^iπ + 1 = 0
作為歐拉公式的一個特例，五個最重要的數學常數：0，1，i，π，e，被連接成一個等式。乍一看很神奇，但其實很必然：假如這5個數不能連成等式，也一定會出現第6第7個常數能把大家連起來。
其實這幾個數本身的來歷很簡單，按時間順序簡要說下：
1，最先被人類認知，代表人類可以從“一匹馬，一個蘋果”中把數量的概念抽象出來。
0，據說是印度人最先明確引入，是數域的第一次擴張，也是人類抽象能力的一次提升。
π，人類第一次對圓周率進行系統(tǒng)而科學的計算始于公元前二世紀的阿基米德，他提出了用內接正多邊形和外切正多邊形的周長雙向逼近的極為嚴謹的方法，計算出π≈3.1416。四百多年后中國三國時期曹魏的大數學家劉徽也提出了用內接多邊形單向逼近的方法（祖沖之沿用了劉徽的方法）。
π 還有一個影響深遠的問題，就是古希臘三大尺規(guī)作圖問題之一的化圓為方，兩千年無人能解，19世紀初伽羅華創(chuàng)建抽象代數理論并完美指出所有尺規(guī)作圖問題可解的問題等價于整數對+-*/和√的擴張域，所以化圓為方問題等價于π是否在該擴張域內。幾十年后林德曼證明了π是超越數（非代數數），而上述擴張域顯然是代數數域的子集，所以化圓為方必然無解。
i，√-1 的出現是必然的，是數域擴張的必然結果。早在9世紀波斯數學家花剌子米的“代數學”一書里討論一元二次方程求解的判別式時已經涉及到了負數開平方的問題。文藝復興時期卡丹和他學生兼女婿法拉利（不是造車的那個）研究三次和四次方程求解時已經引進了這個概念，卡丹稱其為“詭辯量”，說自己“對此既感到費解，又能心安理得的使用它”。i就是imaginary number（想象中的數，即虛數）的首字母，也是歐拉大神拍板定案的。
e，出現的最晚，關于起源有多種說法，不再贅述，對e貢獻最大的就是歐拉。e 在數學里最特殊和有價值的一點就是e^x是導數運算的特征函數（導數=原函數），e的性質是上述常數里最多的，沒法展開說，以下略去十萬字…
e^iπ + 1 = 0 其實是以下歐拉公式的一個特例：
e^ix = cosx + i*sinx
這就是復數的歐拉表示法，這個公式極為重要，在絕大多數場合下，這比復數用a+i*b的向量表示要好用無窮倍，比如傅里葉變換和拉普拉斯變換。
請務必清楚：這個公式并非歐拉拍腦袋定義出來的，而是必然的，可推導的！不理解這點，大學數學就等于白學了。
下面給出兩個非常簡單的證明（限于篇幅，略掉每個步驟繁瑣的嚴謹性證明細節(jié)）：
方法一，從右往左推：
令x=ny，則
cos x + i*sin x
= cos(ny) + i*sin(ny)
= （cos y + i*sin y）^n
令n趨于∞，則y趨于0，于是：
cos y 趨于1，sin y趨于y，則上式趨于：
（1 + iy）^n
=（1 + ix/n）^n
=（1 + kδ）^n，其中k=ix，δ=1/n趨于0。
根據二項式定理，δ趨于0時有：
(1+δ)^k趨于1+kδ，所以上式趨于：
（1 + δ）^kn
=（1 + 1/n）^ixn
=（(1 + 1/n)^n）^ix
= e^ix
證畢。
方法二，從左往右推：
若e^ix為復數，令其= C(x) + i*S(x)
其中C和S是兩個關于x的實函數。
兩邊求導有：
（e^ix）'
= i*e^ix
= i*C(x) - S(x)
= C'(x) + i*S'(x)
于是有：C'=-S，S'=C，構成一次微分方程組。
同時代入初值x=0，有：
e^i*0 = 1，即：C(0)=1，S(0)=0。
于是上述微分方程組有唯一解。
而顯然C=cos，S=sin是該微分方程組的解。
所以只要e^ix能表示為復數，就只能表示為：
e^ix = cosx + i*sinx
我個人碰到過一個很有趣的小游戲，用到了歐拉公式：
一個大學同學出了一道24點游戲的高階問題。
24點的基礎版本是用四個1-13（撲克牌A-K）的數通過加減乘除算出24。
該同學出的高階問題是只使用兩個1，可以引進其它算符，但不許包含任何數字或字母（因此所有三角函數和對數被禁用），算24。
這題有多解，其中最漂亮的解答是同學自帶的：
[（√-1）^ (-√-1)]！
= [i^-i]！
= [（e^iπ/2）^-i ]！
= [ e^(π/2) ]！
= [4.8…]！
= 4！
= 24
