二次函數知識基礎(二次函數知識點(diǎn)歸納)
1.二次函數知識點(diǎn)歸納
二次函數 I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì)1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 當a與b異號時(shí)（即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c）6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax^2;+bx+c，當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。答案補充 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí)，應先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計算、描點(diǎn)的整數值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢。二次函數解析式的幾種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.說(shuō)明：（1）任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補充 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對稱(chēng)軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設y=ax^2+k 定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變量，y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。
2.二次函數全部知識
定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，則稱(chēng)y為x的二次函數。
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k 交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。）
二次函數表達式的右邊通常為二次。 x是自變量，y是x的二次函數 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）[編輯本段]二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像， 可以看出，二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
不同的二次函數圖像[編輯本段]拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0） 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ） 當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。 當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a |a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。 當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 因為若對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0，也就是-b/2a<0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同號 當a與b異號時(shí)（即ab 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。
可通過(guò)對二次函數求導得到。 5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c） 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
_______ Δ= b2-4ac 當a>0時(shí)，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數；拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數是偶函數，解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b2）/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮） 奇偶性：偶函數 周期性：無(wú) 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上；a ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí)，對應極值點(diǎn)為（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0，此時(shí)，x1、x2即為函數與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。[編輯本段]二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax2+bx+c， 當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程）， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 1.二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標及對稱(chēng)軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標 （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱(chēng) 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到， 當h0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h>0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0,k0時(shí)，開(kāi)口向上，當a0，當x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線(xiàn)上任何一對對稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標) 當△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當△0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數時(shí)，都有y>0；當a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)。
3.二次函數的基本知識
我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），稱(chēng)a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。
一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。
右邊是整式，且自變量的最高次數是2。 注意，“變量”不同于“未知數”，不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。
未知數只是一個(gè)數（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。
從函數的定義也可看出二者的差別。二次函數的解法 二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標代入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。
方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。
解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。
對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。
如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標（y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。
設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點(diǎn)坐標為（h,k）對稱(chēng)軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向。
a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。a的絕對值可以決定開(kāi)口大小。
a的絕對值越大開(kāi)口就越小，a的絕對值越小開(kāi)口就越大。
4.關(guān)于二次函數的所有知識
知道二次函數的意義。
自變量的取值范圍及對所含系數的要求有哪些異同，在比較中掌握二次函數的定義。
圖象的有關(guān)技巧（y=ax2的關(guān)鍵點(diǎn)是頂點(diǎn)及關(guān)于y軸的對稱(chēng)點(diǎn)）。
本節的重點(diǎn)是二次函數的概念，正確畫(huà)出y=ax2的圖象，初步掌握二次函數的性質(zhì)。
函數的增減性是教學(xué)的難點(diǎn)。
函數y=ax2的圖象是一條關(guān)于y軸對稱(chēng)的曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)叫拋物線(xiàn)。
1. 會(huì )用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數的圖象。
2. 能利用圖象或通過(guò)配方法確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向及對稱(chēng)軸、頂點(diǎn)的位置。
3. 會(huì )由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標求出二次函數的解析式。
對二次函數畫(huà)圖象，首先應了解二次函數的圖象是拋物線(xiàn)，其關(guān)鍵點(diǎn)是它的頂點(diǎn) 拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)），然后依對稱(chēng)性，再參照y=ax2的圖象，就可迅速畫(huà)出原二次函數的圖象。
在學(xué)習二次函數的性質(zhì)時(shí)，應結合函數的圖象，對比各種不同形式及相同形式但所含常數不同時(shí)的各種情況，歸納總結出一定的規律，從而更好地理解函數的性質(zhì)。
在函數性質(zhì)的教學(xué)中，應充分調動(dòng)學(xué)生的積極性，引導他們從增減性、對稱(chēng)性、最值、截距幾個(gè)方面去發(fā)現性質(zhì)，然后再逐漸條理化。
學(xué)會(huì )函數知識的應用，從而加強技能的訓練和能力的培養。
用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數的圖象，用一般式來(lái)研究二次函數的性質(zhì)，求二次函數的解析式，是本節的重點(diǎn)。
怎樣移動(dòng)便得到另一個(gè)圖象；由二次函數的圖象得出二次函數的性質(zhì)，這是一個(gè)數形結合的問(wèn)題，以上三個(gè)問(wèn)題是本節中的難點(diǎn)。
1. 函數y=ax2的圖象是一條拋物線(xiàn)，它的對稱(chēng)軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2在x軸的上方，在y軸的左右兩側同時(shí)向上無(wú)限延伸；當a<0的時(shí)候，拋物線(xiàn)y=ax2在x軸的下方，在y軸的左右兩側同時(shí)向下無(wú)限延伸。
2. 為了描點(diǎn)畫(huà)出二次函數y=x2的圖象，先要列出函數的對應值表，如何選取自變量x的值呢？不妨以零為中心，均勻選取一些便于計算的x值。
(1)提出二次項系數；
(2)在提出二次項系數以后的式子，配上一次項系數一半的平方，同時(shí)減去該平方；
(3)將提出的二次項系數乘回去。
3. 在本節的學(xué)習過(guò)程中，經(jīng)常需要觀(guān)察圖象的特點(diǎn)以及不同圖象之間的相互關(guān)系，這正是培養學(xué)生觀(guān)察力、理解力的好機會(huì )，應啟發(fā)學(xué)生各抒己見(jiàn)，展開(kāi)討論，以得出比較滿(mǎn)意的結論。
5.二次函數的基本知識
我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），稱(chēng)a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。右邊是整式，且自變量的最高次數是2。 注意，“變量”不同于“未知數”，不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。未知數只是一個(gè)數（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別。
二次函數的解法
二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標代入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。 方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。 對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標（y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
頂點(diǎn)式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點(diǎn)坐標為（h,k）對稱(chēng)軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。
交點(diǎn)式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：
二次函數（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向。a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a
6.二次函數的基本知識,全面點(diǎn)的
登陸/view/407281.htm定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，則稱(chēng)y為x的二次函數。
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k （兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣，但初中課本上都是第一個(gè)式子） 交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。）
二次函數表達式的右邊通常為二次。 x是自變量，y是x的二次函數 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像， 可以看出，二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
不同的二次函數圖像拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0） 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ） 當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。 當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a |a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。 當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 因為若對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0，也就是-b/2a0），對稱(chēng)軸在y軸左；當a與b異號時(shí)（即ab 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。
可通過(guò)對二次函數求導得到。 5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c） 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
_______ Δ= b2-4ac 當a>0時(shí)，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數；拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數是偶函數，解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b2）/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮） 奇偶性：偶函數 周期性：無(wú) 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上；a ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí)，對應極值點(diǎn)為（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0，此時(shí)，x1、x2即為函數與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax2+bx+c， 當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程）， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 1.二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標及對稱(chēng)軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標 （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱(chēng) 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到， 當h0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h>0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y=a(x-h)2-k的圖象； 當h0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y=a(x+h)2+k的圖象； 當h<0,k0時(shí)，開(kāi)口向上，當a0，當x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線(xiàn)上任何一對對稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標) 當△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當△0時(shí)，圖象落在x。
7.二次函數的知識點(diǎn)有哪些
二次函數的知識點(diǎn)
1.二次函數的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)
2.圖像和性質(zhì)：
二次函數y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；
二次函數y=ax^2(a<0)的圖像和性質(zhì)；
二次函數y=ax^2+bx+c(a>0)的圖像和性質(zhì)；
二次函數y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).
圖像：列對應值描點(diǎn)作圖法；
根據對稱(chēng)性作圖法.
圖像的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標，與坐標軸的交點(diǎn)坐標.
性質(zhì)：對稱(chēng)性，對稱(chēng)軸及方程；
單調性，單調區間；
最大值，最小值.
3.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應用：
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h
兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)
4.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換
5.常用方法：
配方法.
待定系數法.
。..
8.二次函數的知識啊簡(jiǎn)明扼要
二次函數 I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像， 可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0） 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。 3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 當a與b異號時(shí)（即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。 拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c） 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax^2;+bx+c， 當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí)，應先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計算、描點(diǎn)的整數值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢。 二次函數解析式的幾種形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0). (2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0). (3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0. 說(shuō)明：（1）任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對稱(chēng)軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設y=ax^2+k定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
還可以決定開(kāi)口大小，越大開(kāi)口就越小，越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 x是自變量，y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化： ①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式。
