實(shí)變函數(學(xué)好實(shí)變函數前需要掌握哪些)
1.學(xué)好實(shí)變函數前需要掌握哪些基礎知識
當然就是之前的專(zhuān)業(yè)課。
最重要的就是數學(xué)分析，尤其是黎曼積分以及分析學(xué)的思路。
實(shí)變函數就是黎曼積分的拓展，介紹一種新的積分——勒貝格積分，將可積函數類(lèi)的范圍擴大了。
值得注意的是勒貝格積分當中，牛頓萊布尼茲公式不一定成立（僅有一個(gè)小于等于號），除非是絕對連續或者有界變差等某些情形。
在引入勒貝格積分的過(guò)程中，測度論是不可少的，有很多引進(jìn)測度的方法。要掌握這些基本上邏輯沒(méi)有問(wèn)題就行了，并不需要什么準備知識，通常的實(shí)變書(shū)都應該有一些集合論的知識。
高等代數、解析幾何、微分方程、復變都完全用不到的，基本就是數學(xué)分析。
2.實(shí)變函數的基礎理論是什么
《實(shí)變函數》是大學(xué)數學(xué)系本科階段理論性較強的一門(mén)基礎課程。
該課程的主要研究對象是定義在實(shí)數集上的實(shí)函數，集合論方法與極限方法是其主要的研究方法，因而該課程又稱(chēng)“實(shí)分析”。該課程的核心內容是Lebesgue測度與Lebesgue積分，Lebesgue測度與Lebesgue積分理論的產(chǎn)生來(lái)自于對Riemann積分的改良。
筆者通過(guò)多年實(shí)變函數課程的教學(xué)與教改實(shí)踐，積累了點(diǎn)滴經(jīng)驗，形成了自己一些膚淺見(jiàn)解。本書(shū)就是筆者根據自己學(xué)習與教學(xué)的體會(huì )，對實(shí)變函數課程的核心內容進(jìn)行整理而形成的。
本書(shū)以塊狀格式呈現材料的寫(xiě)作方式與以往的實(shí)及實(shí)變函數學(xué)習指導書(shū)的寫(xiě)作方式有較大的不同。筆者認為，這種寫(xiě)作方式，一方面有利于突現實(shí)變函數課程的學(xué)科結構，另一方面可留給該書(shū)讀者更大的思考與創(chuàng )意空間。
考慮到初學(xué)實(shí)變函數者做實(shí)變函數習題普遍感到難以入門(mén)，本書(shū)后面附有一部分實(shí)變函數常見(jiàn)習題的解答參考或提示。 目錄第1章 集合與點(diǎn)集 1.1 集合及其運算 1.1.1 問(wèn)題提出 1.1.2 概念入門(mén) 1.1.3 主要事實(shí) 1.1.4 例題選講 1.1.5 基礎題訓練 1.1.6 提高性習題 1.2 映射與基數 1.2.1 問(wèn)題提出 1.2.2 概念入門(mén) 1.2.3 主要事實(shí) 1.2.4 例題選講 1.2.5 基礎題訓練 1.2.6 提高性習題 1.3 可數集與連續基數集 1.3.1 問(wèn)題提出 1.3.2 概念入門(mén) 1.3.3 主要事實(shí) 1.3.4 例題選講 1.3.5 基礎題訓練 1.3.6 提高性習題 1.4 直線(xiàn)上的點(diǎn)集 1.4.1 問(wèn)題提出 1.4.2 概念入門(mén) 1.4.3 主要事實(shí) 1.4.4 例題選講 1.4.5 基礎題訓練 1.4.6 提高性習題 1.5 關(guān)于集合論的幾點(diǎn)注記 1.5.1 集合論創(chuàng )始人Canator簡(jiǎn)介 1.5.2 實(shí)無(wú)窮觀(guān)與潛無(wú)窮觀(guān) 1.5.3 連續統假設 1.5.4 第三次數學(xué)危機與Z-F集合論公理系統 1.5.5 集合思想對中學(xué)數學(xué)的指導 1.5.6 一一映射思想對中學(xué)數學(xué)的指導第2章 測度論 2.1 外測度 2.2 可測集與測度 2.3 可測集類(lèi)與可測集的結構 2.4 關(guān)于測度論的幾點(diǎn)注記第3章 可測函數 3.1 可測函數概念及性質(zhì) 3.2 可測函數列的各種收斂性 3.3 關(guān)于可測函數的幾點(diǎn)注記第4章 Lebesgue積分 4.1 非負簡(jiǎn)單函數與非負可測函數的（L）積分 4.2 一般可測函數的（L）積分 4.3 (L)積分與（R）積分 4.4 Fubini定理 4.5 關(guān)于（L）積分的幾點(diǎn)注記第5章 微分理論初步 5.1 單調函數與有界變差函數的微分性質(zhì) 5.2 不定積分與絕對連續函數 5.3 關(guān)于微分理論的兩點(diǎn)注記附錄 基礎題訓練、提高性習題部分參考解答或提示參考文獻。
3.實(shí)變函數
實(shí)變函數論的產(chǎn)生 微積分產(chǎn)生于十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學(xué)已經(jīng)基本上成熟了。
數學(xué)家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數學(xué)中的一大部門(mén)，也就是數學(xué)分析。 也正是在那個(gè)時(shí)候，數學(xué)家逐漸發(fā)現分析基礎本身還存在著(zhù)學(xué)多問(wèn)題。
比如，什么是函數這個(gè)看上去簡(jiǎn)單而且十分重要的問(wèn)題，數學(xué)界并沒(méi)有形成一致的見(jiàn)解。以至長(cháng)期爭論者問(wèn)題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數學(xué)結果，弄不清究竟誰(shuí)是正確的。
又如，對于什么是連續性和連續函數的性質(zhì)是什么，數學(xué)界也沒(méi)有足夠清晰的理解。 十九世紀初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續函數除個(gè)別點(diǎn)外總是可微的。
后來(lái)，德國數學(xué)家維爾斯特拉斯提出了一個(gè)由級數定義的函數，這個(gè)函數是連續函數，但是維爾斯特拉斯證明了這個(gè)函數在任何點(diǎn)上都沒(méi)有導數。這個(gè)證明使許多數學(xué)家大為吃驚。
由于發(fā)現了某些函數的奇特性質(zhì)，數學(xué)家對函數的研究更加深入了。人們又陸續發(fā)現了有些函數是連續的但處處不可微，有的函數的有限導數并不黎曼可積；還發(fā)現了連續但是不分段單調的函數等等。
這些都促使數學(xué)家考慮，我們要處理的函數，僅僅依靠直觀(guān)觀(guān)察和猜測是不行的，必須深入研究各種函數的性質(zhì)。比如，連續函數必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續函數也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續函數不一定可導，那么可導的充分必要條件由是什么樣的？…… 上面這些函數性質(zhì)問(wèn)題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門(mén)新的學(xué)科，這就是實(shí)變函數。
實(shí)變函數的內容 以實(shí)數作為自變量的函數就做實(shí)變函數，以實(shí)變函數作為研究對象的數學(xué)分支就叫做實(shí)變函數論。它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎是點(diǎn)集論。
什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專(zhuān)門(mén)研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說(shuō)實(shí)變函數論是在點(diǎn)集論的基礎上研究分析數學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。
比如，點(diǎn)集函數、序列、極限、連續性、可微性、積分等。實(shí)變函數論還要研究實(shí)變函數的分類(lèi)問(wèn)題、結構問(wèn)題。
實(shí)變函數論的內容包括實(shí)值函數的連續性質(zhì)、微分理論、積分理論和測度論等。這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡(jiǎn)要的介紹。
實(shí)變函數論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則。 由于積分歸根到底是數的運算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數量的概念，這個(gè)概念叫做測度。
什么實(shí)測度呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，一條線(xiàn)段的長(cháng)度就是它的測度。測度的概念對于實(shí)變函數論十分重要。
集合的測度這個(gè)概念實(shí)由法國數學(xué)家勒貝格提出來(lái)的。 為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫(xiě)的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念并用來(lái)討論積分。
1898年，法國數學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測度。波萊爾的學(xué)生勒貝格后來(lái)發(fā)表《積分、長(cháng)度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。
勒貝格還在他的論文《積分和圓函數的研究》中，證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點(diǎn)構成一個(gè)零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問(wèn)題。 勒貝格積分可以推廣到無(wú)界函數的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對收斂的，后來(lái)由推廣到積分可以不是絕對收斂的。
從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來(lái)又由黎曼發(fā)揚的老積分定義廣大多了。也可以看出，實(shí)變函數論所研究的是更為廣泛的函數類(lèi)。
自從維爾斯特拉斯證明連續函數必定可以表示成一致收斂的多項式級數，人們就認清連續函數必定可以解析地表達出來(lái)，連續函數也必定可以用多項式來(lái)逼近。 這樣，在實(shí)變函數論的領(lǐng)域里又出現了逼近論的理論。
什么是逼近理論呢？舉例來(lái)說(shuō)，如果能把 A類(lèi)函數表示成 B類(lèi)函數的極限，就說(shuō) A類(lèi)函數能以 B類(lèi)函數來(lái)逼近。如果已經(jīng)掌握了 B類(lèi)函數的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類(lèi)函數的相應性質(zhì)。
逼近論就是研究那一類(lèi)函數可以用另一類(lèi)函數來(lái)逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現的各種情況。 和逼近理論密切相關(guān)的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數。
和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類(lèi)已知函數出發(fā)構造出新的函數類(lèi)型的理論，這種理論叫做函數構造論。 總之，實(shí)變函數論和古典數學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應用廣泛，它在數學(xué)各個(gè)分支的應用是現代數學(xué)的特征。
實(shí)變函數論不僅應用廣泛，是某些數學(xué)分支的基本工具，而且它的觀(guān)念和方法以及它在各個(gè)數學(xué)分支的應用，對形成近代數學(xué)的一般拓撲學(xué)和泛函分析兩個(gè)重要分支有著(zhù)極為重要的影響。 。
4.什么是實(shí)變函數
以實(shí)數作為自變量的函數就做實(shí)變函數，以實(shí)變函數作為研究對象的數學(xué)分支就叫做實(shí)變函數論。
它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎是點(diǎn)集論。什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專(zhuān)門(mén)研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。
也可以說(shuō)實(shí)變函數論是在點(diǎn)集論的基礎上研究分析數學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。 比如，點(diǎn)集函數、序列、極限、連續性、可微性、積分等。
實(shí)變函數論還要研究實(shí)變函數的分類(lèi)問(wèn)題、結構問(wèn)題。 實(shí)變函數論的內容包括實(shí)值函數的連續性質(zhì)、微分理論、積分理論和測度論等。
這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡(jiǎn)要的介紹。 實(shí)變函數論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則。
由于積分歸根到底是數的運算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數量的概念，這個(gè)概念叫做測度。 什么實(shí)測度呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，一條線(xiàn)段的長(cháng)度就是它的測度。
測度的概念對于實(shí)變函數論十分重要。集合的測度這個(gè)概念實(shí)由法國數學(xué)家勒貝格提出來(lái)的。
為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫(xiě)的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念并用來(lái)討論積分。1898年，法國數學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測度。
波萊爾的學(xué)生勒貝格后來(lái)發(fā)表《積分、長(cháng)度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。 勒貝格還在他的論文《積分和圓函數的研究》中，證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點(diǎn)構成一個(gè)零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問(wèn)題。
勒貝格積分可以推廣到無(wú)界函數的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對收斂的，后來(lái)由推廣到積分可以不是絕對收斂的。 從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來(lái)又由黎曼發(fā)揚的老積分定義廣大多了。
也可以看出，實(shí)變函數論所研究的是更為廣泛的函數類(lèi)。 自從維爾斯特拉斯證明連續函數必定可以表示成一致收斂的多項式級數，人們就認清連續函數必定可以解析地表達出來(lái)，連續函數也必定可以用多項式來(lái)逼近。
這樣，在實(shí)變函數論的領(lǐng)域里又出現了逼近論的理論。 什么是逼近理論呢？舉例來(lái)說(shuō)，如果能把 A類(lèi)函數表示成 B類(lèi)函數的極限，就說(shuō) A類(lèi)函數能以 B類(lèi)函數來(lái)逼近。
如果已經(jīng)掌握了 B類(lèi)函數的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類(lèi)函數的相應性質(zhì)。 逼近論就是研究那一類(lèi)函數可以用另一類(lèi)函數來(lái)逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現的各種情況。
和逼近理論密切相關(guān)的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數。和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類(lèi)已知函數出發(fā)構造出新的函數類(lèi)型的理論，這種理論叫做函數構造論。
總之，實(shí)變函數論和古典數學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應用廣泛，它在數學(xué)各個(gè)分支的應用是現代數學(xué)的特征。 實(shí)變函數論不僅應用廣泛，是某些數學(xué)分支的基本工具，而且它的觀(guān)念和方法以及它在各個(gè)數學(xué)分支的應用，對形成近代數學(xué)的一般拓撲學(xué)和泛涵分析兩個(gè)重要分支有著(zhù)極為重要的影響。
例子 實(shí)變：y=x+1,x屬于R 。
